Örtülü türev, bir fonksiyonun türevini y = f (x) biçiminde belirlemek için kullanılan bir tekniktir.
Örtük farklılaşmayı nasıl kullanacağımızı öğrenmek için yöntemi basit bir örnek üzerinde kullanabilir ve ardından daha karmaşık durumları keşfedebiliriz.
Örtük Farklılaşma Sadece Farklılaşmadır
Kulağa daha karmaşık gelse de, örtük farklılaşma, aynı matematik ve becerilerin tümünü temel farklılaştırma olarak kullanır. Ancak dikkat edilmesi gereken önemli nokta, bağımlı değişkenimizin artık fonksiyonun kendisinde görünmesidir.
xy = 1 gibi basit bir denklem alın. türevini bulmanın iki yolu vardır. y göre xveya dy/dx. İlk olarak, basitçe çözebiliriz y denklemde ve türevler için güç kuralını kullanın. Bunu yapmak şu sonucu verir: y = 1/x. Kuvvet kuralının uygulanması bu nedenle dy/dx = -1/x olduğunu ortaya çıkaracaktır.2.
Bu sorunu örtük farklılaşma kullanarak da yapabiliriz. Neyse ki, cevabı zaten biliyoruz (nasıl hesapladığımızdan bağımsız olarak aynı olmalıdır), böylece işimizi kontrol edebiliriz!
Başlamak için, türevi xy = 1 denkleminin her iki tarafına da uygulayın. Ardından, d/dx (xy) = d/dx (1); açıkça sağ taraf şimdi 0'a eşittir, ancak sol taraf zincir kuralını gerektirir. Bunun nedeni, fonksiyonumuzun türevini almamızdır, y, başka bir faktörle çarpılırken x. Bunu hesaplamak için: d/dx (x) y + x (d/dx (y)) = y + xy'. Bir türevi belirtmek için asal gösterimi kullanacağız. x.
Denklemimizi yeniden yazmak şunu verir: y + xy' = 0. çözmenin zamanı geldi sen bizim denklemimizde! Açıkça, y' = -y/x. Ama orijinal bilgiyi kullanarak, y= 1/x olduğunu biliyoruz, böylece bunu tekrar yerine koyabiliriz. Bunu yaptığımızda, y' = -1/x olduğunu görürüz2, tıpkı daha önce bulduğumuz gibi.
Günahın (xy) Türevini Belirlemek İçin Örtülü Farklılaşma
y = sin (xy)'nin türevini belirlemek için, (d/dx) y = y' olduğunu hatırlayarak örtük türev alacağız.
İlk önce türevi denklemin her iki tarafına da uygulayın: d/dx (y) = d/dx (sin (xy)). Denklemin sol tarafı açıkça sen, bunu çözmemiz gerekecek, ancak sağ taraf biraz çalışma gerektirecek; özellikle, zincir kuralı ve çarpım kuralı. İlk olarak, zincir kuralının sin (xy) öğesine uygulanması gerekir ve ardından argüman için çarpım kuralının uygulanması gerekir. xy. Neyse ki bu ürün kuralını zaten hesapladık.
Sonra, bunu basitleştirirsek: y' = cos (xy)(y + xy') verir.
Açıkçası, bu denklemin çözülmesi gerekiyor sen nasıl olduğunu belirlemek için sen ile ilgilidir x ve y.
ile tüm terimleri izole et sen bir tarafta: y' - xy'cos (xy) = ycos (xy).
Daha sonra çarpanlara ayır sen elde etmek için: y'(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).
Şimdi y' = ycos (xy)/(1-xcos (xy)) olduğunu görüyoruz.
Daha fazla basitleştirme gerekli, ancak fonksiyonumuz özyinelemeli olarak tanımlandığından, y = sin (xy)'yi eklemek muhtemelen tatmin edici bir çözüm vermeyecektir. Bu durumda, bu denklemleri çizmek için daha fazla bilgi veya daha karmaşık bir yöntem faydalı olabilir.
Örtük Farklılaştırma için Genel Adımlar
İlk olarak, örtük farklılaşmanın değişkenlerden birinin diğerinin fonksiyonu olmasına bağlı olduğunu unutmayın. Genelde fonksiyonları y = f (x) olarak görürüz, ancak x = f (y) şeklinde bir fonksiyon yazılabilir. Hangi değişkenin diğerine bağımlı olduğunu belirlemek için bu problemlere yaklaşırken dikkatli olun.
Ardından, türev kurallarını dikkatlice uygulamayı unutmayın. Örtük türev alma, çok sık zincir kuralının yanı sıra çarpım kuralı ve bölüm kuralı gerektirecektir. Bu yöntemleri doğru bir şekilde uygulamak, nihai cevabı belirlemek için esas olacaktır.
Son olarak, istenen türevi izole ederek ve ifadeleri mümkün olduğunca basitleştirerek çözün.