Sarkaçlar, fizikçilerin diğer nesneleri tanımlamak için kullandıkları ilginç özelliklere sahiptir. Örneğin, gezegen yörüngesi benzer bir düzen izler ve bir salıncakta sallanmak bir sarkaç üzerindeymişsiniz gibi hissettirebilir. Bu özellikler sarkacın hareketini yöneten bir dizi yasadan gelir. Bu yasaları öğrenerek, fiziğin ve genel olarak hareketin bazı temel ilkelerini anlamaya başlayabilirsiniz.
Bir sarkacın hareketi kullanılarak tanımlanabilir
\theta (t)=\theta_{maks}\cos{\frac{2\pi t}{T}}
hangisindeθortadaki dikey çizgi ile ip arasındaki açıyı temsil eder,tzamanı temsil eder veTsarkacın hareketinin tam bir döngüsünün gerçekleşmesi için gereken süredir (ile ölçülür)1/f), bir sarkaç hareketi.
Basit harmonik hareket
Basit harmonik hareketveya bir nesnenin hızının dengedeki yer değiştirme miktarıyla orantılı olarak nasıl salındığını tanımlayan hareket, bir sarkaç denklemini tanımlamak için kullanılabilir. Bir sarkacın sallanması, ileri geri hareket ederken üzerine etki eden bu kuvvet tarafından hareket halinde tutulur.
•••Seyit Hüseyin Ather
Sarkaç hareketini yöneten yasalar, önemli bir özelliğin keşfedilmesine yol açtı. Fizikçiler, kuvvetleri dikey ve yatay bileşenlere ayırır. Sarkaç hareketinde,üç kuvvet doğrudan sarkaç üzerinde çalışır: bobun kütlesi, yerçekimi ve ipteki gerilim. Kütle ve yerçekimi dikey olarak aşağı doğru çalışır. Sarkaç yukarı veya aşağı hareket etmediğinden, ip geriliminin dikey bileşeni kütle ve yerçekimini ortadan kaldırır.
Bu, sarkacın kütlesinin hareketiyle hiçbir ilgisi olmadığını, ancak yatay sicim geriliminin olduğunu gösterir. Basit harmonik hareket dairesel harekete benzer. Dairesel bir yolda hareket eden bir nesneyi, karşılık gelen dairesel yolunda aldığı açıyı ve yarıçapı belirleyerek yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi tanımlayabilirsiniz. Ardından, dairenin merkezi, nesnenin konumu ve her iki x ve y yönündeki yer değiştirme arasındaki dik üçgenin trigonometrisini kullanarak denklemleri bulabilirsiniz.x = rsin (θ)vey = rcos (θ).
Basit harmonik harekette bir cismin tek boyutlu denklemi şu şekilde verilir:x = r cos (ωt).daha fazla değiştirebilirsinizbiriçinrhangisindebirbugenlik, nesnenin ilk konumundan maksimum yer değiştirme.
açısal hızωzamana göretbu açılar içinθtarafından verilirθ = ωt. Açısal hızı frekansla ilişkilendiren denklemi değiştirirsenizf, ω = 2πf, bu dairesel hareketi hayal edebilirsiniz, o zaman, ileri geri sallanan bir sarkacın parçası olarak, sonuçta ortaya çıkan basit harmonik hareket denklemi
x=A\cos{2\pi ft}
Basit Sarkaç Kanunları
•••Seyit Hüseyin Ather
Bir yaydaki kütleler gibi sarkaçlar,basit harmonik osilatörler: Sarkaçın ne kadar yer değiştirdiğine bağlı olarak artan bir geri getirme kuvveti vardır ve hareketleri şu şekilde tanımlanabilir:basit harmonik osilatör denklemi
\theta (t)=\theta_{maks}\cos{\frac{2\pi t}{T}}
hangisindeθortadaki dikey çizgi ile ip arasındaki açıyı temsil eder,tzamanı temsil eder veTbudönem, sarkacın hareketinin tam bir döngüsünün gerçekleşmesi için gerekli süre (ile ölçülür1/f), bir sarkaç hareketi.
θmaksimumsarkacın hareketi sırasında salınan açının maksimumunu tanımlamanın başka bir yoludur ve sarkacın genliğini tanımlamanın başka bir yoludur. Bu adım aşağıda "Basit Sarkaç Tanımı" bölümünde açıklanmıştır.
Basit sarkaç yasalarının bir başka anlamı da, sabit uzunluktaki salınım periyodunun, ipin ucundaki cismin boyutundan, şeklinden, kütlesinden ve malzemesinden bağımsız olmasıdır. Bu, basit sarkaç türevi ve ortaya çıkan denklemler aracılığıyla açıkça gösterilir.
Basit Sarkaç Türetimi
için denklemi belirleyebilirsiniz.basit sarkaç, bir sarkaç için hareket denklemi ile başlayan bir dizi adımdan basit bir harmonik osilatöre dayanan tanım. Bir sarkacın yerçekimi kuvveti sarkacın hareketinin kuvvetine eşit olduğundan, sarkaç kütlesi ile Newton'un ikinci yasasını kullanarak bunları birbirine eşitleyebilirsiniz.M, IP uzunluğuL, açıθ,yerçekimi ivmesigve zaman aralığıt.
•••Seyit Hüseyin Ather
Newton'un ikinci yasasını eylemsizlik momentine eşitledinizben = bay2biraz kütle içinmve dairesel hareketin yarıçapı (bu durumda ipin uzunluğu)raçısal ivmenin çarpımıα.
- ΣF = Ma: Newton'un ikinci yasası net kuvvetinΣFbir nesne üzerindeki ivme ile çarpılan nesnenin kütlesine eşittir.
- Ma = ben α: Bu, yerçekimi ivmesinin kuvvetini ayarlamanızı sağlar (-Mg günah (θ)L)dönme kuvvetine eşit
- -Mg günah (θ)L = ben α: Yerçekiminden kaynaklanan düşey kuvvetin yönünü alabilirsiniz (-Mg) ivmeyi şu şekilde hesaplayarakgünah (θ)LEğergünah (θ) = d/Lbazı yatay yer değiştirmeler içindve açıθ yönü hesaba katmak.
- -Mg günah (θ)L = makine öğrenimi2 α: Dönen bir cismin eylemsizlik momenti denklemini, yarıçap olarak L dize uzunluğunu kullanarak değiştirirsiniz.
- -Mg günah (θ)L = -ML2d2θ/dt: açının zamana göre ikinci türevini yerine koyarak açısal ivmeyi hesaplayın.α.Bu adım, hesap ve diferansiyel denklemler gerektirir.
- d2θ/dt2 + (g/L)sinθ = 0: Bunu denklemin her iki tarafını da yeniden düzenleyerek elde edebilirsiniz.
- d2θ/dt2 + (g/L)θ = 0: Yaklaşabilirsinizgünah (θ)gibiθçok küçük salınım açılarında basit bir sarkacın amaçları için
- θ(t) = θmaksimumcos (t (L/g)2): Hareket denkleminin çözümü bu. Bu denklemin ikinci türevini alarak ve 7. adımı elde etmeye çalışarak bunu doğrulayabilirsiniz.
Basit bir sarkaç türevi yapmanın başka yolları da vardır. Nasıl ilişkili olduklarını görmek için her adımın arkasındaki anlamı anlayın. Bu teorileri kullanarak basit bir sarkaç hareketini tanımlayabilirsiniz, ancak basit sarkaç teorisini etkileyebilecek diğer faktörleri de hesaba katmalısınız.
Sarkaç Hareketini Etkileyen Faktörler
Bu türetmenin sonucunu karşılaştırırsanız
\theta (t)=\theta_{max}\cos{t\bigg(\frac{L}{g}\bigg)^2}
basit harmonik osilatör denklemineby onları birbirine eşitleyerek, T periyodu için bir denklem türetebilirsiniz:
T=2\pi\sqrt{\frac{g}{L}}
Bu denklemin kütleye bağlı olmadığına dikkat edin.Msarkacın genliğiθmaksimumne de zamanındat. Bu, periyodun kütle, genlik ve zamandan bağımsız olduğu, bunun yerine ipin uzunluğuna bağlı olduğu anlamına gelir. Sarkaç hareketini ifade etmenin kısa bir yolunu sunar.
Sarkaç Örneği Uzunluğu
Bir periyot denklemi ile, elde etmek için denklemi yeniden düzenleyebilirsiniz.
L=\frac{(T/2\pi)^2}{g}
ve yerine 1 saniyeTve9,8 m/s2içingelde etmek üzereL =0,0025 m. Basit sarkaç teorisinin bu denklemlerinin, ipin uzunluğunun sürtünmesiz ve kütlesiz olduğunu varsaydığını unutmayın. Bu faktörleri hesaba katmak için daha karmaşık denklemler gerekir.
Basit Sarkaç Tanımı
Sarkaç arka açısını çekebilirsinizθtıpkı bir yay gibi salındığını görmek için ileri geri sallanmasına izin vermek. Basit bir sarkaç için onu basit bir harmonik osilatörün hareket denklemlerini kullanarak tanımlayabilirsiniz. Hareket denklemi, daha küçük açı değerleri için iyi çalışır vegenlik, maksimum açı, çünkü basit sarkaç modeli şu yaklaşıma dayanır:günah (θ) ≈ θbazı sarkaç açısı içinθ.Değerler açılar ve genlikler yaklaşık 20 dereceden daha büyük hale geldiğinden, bu yaklaşım da işe yaramaz.
Kendiniz deneyin. Büyük bir başlangıç açısı ile sallanan bir sarkaçθBunu açıklamak için basit bir harmonik osilatör kullanmanıza izin vermek için düzenli olarak salınmayacaktır. Daha küçük bir başlangıç açısındaθ, sarkaç düzenli, salınımlı bir harekete çok daha kolay yaklaşır. Bir sarkacın kütlesinin hareketi üzerinde hiçbir etkisi olmadığı için fizikçiler tüm sarkaçların salınım için aynı periyoda sahip olduğunu kanıtladılar. açılar - sarkacın en yüksek noktasındaki merkezi ile durma konumunda sarkacın merkezi arasındaki açı - 20'den az derece.
Hareket halindeki bir sarkacın tüm pratik amaçları için, sarkaç sonunda yavaşlayacak ve hareket nedeniyle duracaktır. Sarkaç ve hava arasındaki hava direncinin yanı sıra ip ile yukarıdaki sabitlenmiş noktası arasındaki sürtünme etrafında.
Sarkaç hareketinin pratik örnekleri için, periyot ve hız, bu sürtünme ve hava direnci örneklerine neden olacak kullanılan malzemenin türüne bağlı olacaktır. Bu kuvvetleri hesaba katmadan teorik sarkaç salınım davranışı üzerinde hesaplamalar yaparsanız, sonsuz salınım yapan bir sarkacı hesaba katacaktır.
Sarkaçlarda Newton Kanunları
Newton'un birinci yasası, kuvvetlere tepki olarak nesnelerin hızını tanımlar. Yasa, bir nesne belirli bir hızda ve düz bir çizgide hareket ederse, üzerine başka bir kuvvet etki etmedikçe, bu hızda ve düz bir çizgide sonsuza kadar hareket etmeye devam edeceğini belirtir. Bir topu dümdüz ileri attığınızı hayal edin - hava direnci ve yerçekimi etki etmeseydi top dünyanın etrafında tekrar tekrar dönerdi. Bu yasa, bir sarkaç yukarı ve aşağı değil de yan yana hareket ettiğinden, ona etki eden yukarı ve aşağı kuvvetlerinin olmadığını gösterir.
Newton'un ikinci yasası, yerçekimi kuvvetini sarkaç üzerinde geri çeken ipin kuvvetine eşit olarak ayarlayarak sarkaç üzerindeki net kuvveti belirlemede kullanılır. Bu denklemleri birbirine eşitlemek, sarkaç için hareket denklemlerini türetmenizi sağlar.
Newton'un üçüncü yasası, her etkinin eşit kuvvette bir tepkiye sahip olduğunu belirtir. Bu yasa, kütle ve yerçekimi ip gerilim vektörünün dikey bileşenini iptal etmesine rağmen, yatay bileşeni hiçbir şeyin iptal etmediğini gösteren birinci kanunla çalışır. Bu yasa, bir sarkaç üzerine etki eden kuvvetlerin birbirini iptal edebileceğini gösterir.
Fizikçiler, Newton'un birinci, ikinci ve üçüncü yasalarını kullanarak yatay sicim geriliminin sarkacı kütle veya yerçekiminden bağımsız olarak hareket ettirdiğini kanıtlıyor. Basit bir sarkacın yasaları, Newton'un üç hareket yasasının fikirlerini takip eder.