Innan vi diskuterar tyngdpunkten, låt oss anta några parametrar. En, att du har att göra med ett föremål som ligger på jordens yta, inte ute i rymden någonstans. Och två, att objektet är ganska litet - säg, inte ett rymdskepp som är parkerat på jorden och väntar på att ta av. När alla dessa utomjordiska influenser har eliminerats är du i ett bra läge för att beräkna tyngdpunkten för geometriska föremål med hjälp av en relativt enkel formel - och faktiskt, på grund av de just inställda villkoren, kommer du att använda samma formel för att hitta tyngdpunkten som att hitta masscentrum.
Hur man skriver om tyngdkraftscentrum
Tyngdpunkten i ett tvådimensionellt plan betecknas vanligtvis med koordinaterna (xcg, ycg) eller ibland av variablernaxochymed en bar över dem. Dessutom förkortas termen "tyngdpunkt" ibland till cg.
Hur man beräknar CG för en triangel
Din matematiska eller fysiska lärobok innehåller ofta diagram för att bestämma balansen för vissa siffror. Men för vissa vanliga geometriska former kan du använda lämplig tyngdpunkt för att hitta formens tyngdpunkt.
För trianglar sitter tyngdpunkten vid den punkt där alla tre medianerna korsar varandra. Om du börjar vid en topp i triangeln och sedan drar en rak linje till mittpunkten på den andra sidan, är det en median. Gör detsamma för de andra två hörnpunkterna, och den punkt där alla tre medianerna korsar var triangelns tyngdpunkt.
Och naturligtvis finns det en formel för det. Om koordinaterna för triangelns tyngdpunkt är (xcg, ycg), hittar du dess koordinater thusly:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3} {3} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3} {3}
Var (x1, y1), (x2, y2) och (x3, y3) är koordinaterna för triangelns tre hörn. Du får välja vilket toppunkt som tilldelas vilket nummer.
Center of Gravity Formula för en rektangel
Har du märkt att för att hitta tyngdpunkten för en triangel, så beräknar du bara värdet på x-koordinaterna, genomsnitta sedan värdet på y-koordinaterna och använd de två resultaten som koordinater för ditt tyngdpunkt?
För att hitta tyngdpunkten för en rektangel gör du exakt samma sak. Men för att göra dina beräkningar ännu enklare antar du att rektangeln är orienterad helt och hållet mot en kartesisk koordinatplanet (så att det inte är inställt i en vinkel) och att dess nedre vänstra toppunkt ligger vid Graf. I så fall att hitta (xcg, ycg) för en rektangel är allt du behöver beräkna:
x_ {cg} = \ frac {\ text {width}} {2} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {\ text {höjd}} {2}
Om du inte vill flytta din rektangel till koordinatplanets ursprung eller om det av någon anledning inte är exakt kvadratiskt till koordinataxlar, du kan möta denna något skrämmande, men ändå effektiva, formel för att genomsnittliga alla dess x-koordinater för att hitta värdet av xcgoch medelvärde alla y-koordinater för att hitta värdet på ycg:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3 + x_4} {4} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3 + y_4} {4}
Center of Gravity Equation
Vad händer om du behöver beräkna tyngdpunkten för en form som passar alla antaganden som nämnts först (i princip försöker du inte göra bokstavlig raketvetenskap genom att hitta tyngdpunkten för föremål ute i rymden), men det faller inte i någon av de kategorier som just nämnts eller i diagrammen på baksidan av din lärobok? Sedan kan du dela upp din form i mer välkända former och använda följande ekvationer för att hitta deras kollektiva tyngdpunkt:
x_ {cg} = \ frac {a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n} {a_1 + a_2 +... + a_n} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {a_1y_1 + a_2y_2 +... + a_ny_n} {a_1 + a_2 +... + a_n}
Eller för att uttrycka det på ett annat sätt, xcg är lika med området för sektion 1 gånger dess plats på x-axeln, läggs till området för sektion 2 gånger dess plats, och så vidare tills du har lagt till arealtiderna för alla sektioner; dela sedan hela beloppet med den totala ytan för alla sektioner. Gör sedan detsamma för y.
F: Hur hittar jag området för varje avsnitt?Genom att dela din komplexa eller oregelbundna form i mer välbekanta polygoner kan du använda standardiserade formler för att hitta område. Om du till exempel har delat upp den formen i rektangulära bitar kan du använda formellängden × bredd för att hitta området för varje bit.
F: Vad är "platsen" för varje avsnitt?Platsen för varje sektion är lämplig koordinat från sektionens tyngdpunkt. Så om du vill ha dig2 (platsen för segment 2), du måste faktiskt ange y-koordinaten för segmentets tyngdpunkt. Återigen, det är därför du delar upp ett konstigt format objekt i mer välbekanta former, eftersom du kan använda formler som redan diskuterats för att hitta varje forms tyngdpunkt och sedan extrahera lämplig koordinat (s).
F: Var går min form på koordinatplanet?Du får välja var din form sitter på koordinatplanet - kom bara ihåg att svarets tyngdpunkt kommer att vara i förhållande till samma referenspunkt. Det är lättast att placera ditt objekt i den första kvadranten i diagrammet, med dess nedre kant mot x-axeln och vänster kant mot y-axeln så att alla x- och y-värden är positiva men också tillräckligt små för att vara hanterlig.
Tricks för att hitta tyngdpunkten
Om du har att göra med ett enda objekt är intuition och lite logik ibland allt du behöver för att hitta dess tyngdpunkt. Till exempel, om du överväger en platt skiva kommer tyngdpunkten att vara skivans centrum. I en cylinder är det mittpunkten på cylinderns axel. För en rektangel (eller kvadrat) är det den punkt där diagonala linjer konvergerar.
Du kanske har lagt märke till ett mönster här: Om objektet i fråga har en symmetri linje kommer tyngdpunkten att vara på den linjen. Och om den har flera symmetriaxlar kommer tyngdpunkten att vara där dessa axlar skär varandra.
Slutligen, om du försöker hitta tyngdpunkten för ett verkligt komplext objekt, har du två alternativ: Antingen piska ut dina bästa kalkylintegraler (se Resurser för en trippel integral som representerar tyngdpunkten för en icke-enhetlig massa) eller mata in dina data i ett specialbyggt tyngdpunkt kalkylator. (Se Resurser för ett exempel på en tyngdpunktskalkylator för radiostyrda plan.)
