Om du gillar matematiska konstigheter kommer du att älska Pascals triangel. Uppkallad efter den franska matematikern Blaise Pascal från 1600-talet, och känd för kineserna i många århundraden före Pascal som Yanghui-triangeln, är det faktiskt mer än en konstighet. Det är ett specifikt antal nummer som är otroligt användbart i algebra och sannolikhetsteori. Några av dess egenskaper är mer förvirrande och intressanta än de är användbara. De hjälper till att illustrera världens mystiska harmoni som beskrivs av siffror och matematik.
Regeln för att konstruera Pascals triangel kunde inte vara enklare. Börja med nummer ett i toppen och forma den andra raden under den med ett par. För att konstruera den tredje och alla efterföljande rader, börja med att sätta en i början och i slutet. Hämta varje siffra mellan det här paret genom att lägga till de två siffrorna omedelbart ovanför den. Den tredje raden är alltså 1, 2, 1, den fjärde raden är 1, 3, 3, 1, den femte raden är 1, 4, 6, 4, 1 och så vidare. Om varje siffra upptar en låda som är lika stor som alla andra lådor, är arrangemanget perfekt liksidig triangel avgränsad på två sidor av en och med en bas lika lång som raden. Raderna är symmetriska genom att de läser samma bakåt och framåt.
Pascal upptäckte triangeln, som hade varit känd i århundraden för persiska och kinesiska filosofer, när han studerade den algebraiska expansionen av uttrycket (x + y)n. När du expanderar detta uttryck till den n: te kraften, motsvarar koefficienterna för termerna i expansionen siffrorna i den nionde raden i triangeln. Till exempel (x + y)0 = 1; (x + y)1 = x + y; (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 och så vidare. Av denna anledning kallar matematiker ibland arrangemanget triangeln för binomialkoefficienter. För ett stort antal n är det uppenbarligen lättare att läsa expansionskoefficienterna från triangeln än att beräkna dem.
Antag att du slänger ett mynt ett visst antal gånger. Hur många kombinationer av huvuden och svansar kan du få? Du kan ta reda på det genom att titta på raden i Pascals triangel som motsvarar antalet gånger du kastar myntet och lägger till alla siffror i den raden. Om du till exempel slänger myntet tre gånger finns det 1 + 3 + 3 + 1 = 8 möjligheter. Sannolikheten för att få samma resultat tre gånger i rad är därför 1/8.
På samma sätt kan du använda Pascals triangel för att hitta hur många sätt du kan kombinera objekt eller val från en viss uppsättning. Antag att du har 5 bollar och att du vill veta hur många sätt du kan välja två av dem. Gå bara till femte raden och titta på den andra posten för att hitta svaret, som är 5.