Tänk dig att du står mitt i en perfekt cirkulär arena. Du tittar ut mot folkmassorna längs arenans sidor och ser din bästa vän i ett säte och din matematiklärare på gymnasiet ett par sektioner över. Vad är avståndet mellan dem och dig? Hur långt måste du gå för att resa från din väns plats till din lärarsits? Vilka är måtten på vinklarna mellan er? Allt detta är frågor relaterade till centrala vinklar.
A central vinkel är den vinkel som bildas när två radier dras från centrum av cirkeln till dess kanter. I detta exempel är de två radierna dina två siktlinjer från dig, i mitten av arenan, till din vän och din siktlinje till din lärare. Vinkeln som bildas mellan dessa två linjer är den centrala vinkeln. Det är vinkeln närmast cirkelns centrum.
Din vän och din lärare sitter längs omkrets eller kanterna på cirkeln. Vägen längs arenan som förbinder dem är en båge.
Hitta den centrala vinkeln från båglängd och omkrets
Det finns ett par ekvationer som du kan använda för att hitta den centrala vinkeln. Ibland får du
båglängd, avståndet längs omkretsen mellan två punkter. (I exemplet är detta avståndet du måste gå runt arenan för att komma från din vän till din lärare.) Förhållandet mellan central vinkel och båglängd är:(båglängd) ÷ omkrets = (mittvinkel) ÷ 360 °
Den centrala vinkeln kommer att vara i grader.
Denna formel är meningsfull om du tänker på det. Bågens längd utifrån den totala längden runt cirkeln (omkrets) är samma proportion som bågens vinkel ut från den totala vinkeln i en cirkel (360 grader).
För att använda denna ekvation effektivt måste du känna till cirkelns omkrets. Men du kan också använda denna formel för att hitta båglängden om du känner till den centrala vinkeln och omkretsen. Eller om du har båglängden och den centrala vinkeln kan du hitta omkretsen!
Hitta den centrala vinkeln från båglängden och radien
Du kan också använda cirkelns radie och båglängden för att hitta den centrala vinkeln. Ring mätningen av den centrala vinkeln θ. Sedan:
θ = s÷ r, där s är båglängden och r är radien. θ mäts i radianer.
Återigen kan du ordna om denna ekvation beroende på vilken information du har. Du kan hitta bågens längd från radien och den centrala vinkeln. Eller så kan du hitta radien om du har den centrala vinkeln och båglängden.
Om du vill ha båglängden ser ekvationen ut så här:
s =θ * r, där s är båglängden, r är radien och θ är den centrala vinkeln i radianer.
The Central Angle Theorem
Låt oss lägga till en twist i ditt exempel där du är på arenan med din granne och din lärare. Nu finns det en tredje person du känner på arenan: din nästa granne. Och en sak till: De är bakom dig. Du måste vända dig för att se dem.
Din granne är ungefär tvärs över arenan från din vän och din lärare. Ur grannens synvinkel är det en vinkel som bildas av deras siktlinje till kompisen och deras siktlinje till läraren. Det kallas en inskriven vinkel. Ett inskriven vinkel är en vinkel bildad av tre punkter längs en cirkels omkrets.
The Central Angle Theorem förklarar förhållandet mellan storleken på den centrala vinkeln, bildad av dig, och den inskrivna vinkeln, bildad av din granne. De The Central Angle Theorem stater som den centrala vinkeln är två gånger den inskrivna vinkeln. (Detta förutsätter att du använder samma slutpunkter. Ni tittar båda på läraren och kompisen, inte någon annan).
Här är ett annat sätt att skriva det. Låt oss ringa din väns säte A, din lärares säte B och din granns säte C. Du, i mitten, kan vara O.
Så, för tre punkter A, B och C längs omkretsen av en cirkel och punkt O i mitten, är den centrala vinkeln ∠AOC två gånger den inskrivna vinkeln ∠ABC.
Det är, ∠AOC = 2∠ABC.
Det är vettigt. Du är närmare kompisen och läraren, så för dig ser de längre ifrån varandra (en större vinkel). För din granne på andra sidan stadion ser de mycket närmare varandra (en mindre vinkel).
Undantag från Central Angle Theorem
Nu, låt oss flytta upp saker. Din granne på andra sidan arenan börjar röra sig! De har fortfarande en siktlinje till kompisen och läraren, men linjerna och vinklarna fortsätter att flyttas när grannen rör sig. Gissa vad: Så länge grannen stannar utanför bågen mellan vän och granne, så är Central Angle Theorem fortfarande sant!
Men vad händer när grannen flyttar mellan vän och lärare? Nu är din granne inne i mindre båge, det relativt lilla avståndet mellan vän och lärare jämfört med det större avståndet runt resten av arenan. Då når du ett undantag från Central Angle Theorem.
De undantag från Central Angle Theorem säger att när punkt C, grannen, är inne i den mindre bågen, är den inskrivna vinkeln tillägget till halva den centrala vinkeln. (Kom ihåg att en vinkel och dess tillägg lägg till 180 grader.)
Så: inskriven vinkel = 180 - (central vinkel ÷ 2)
Eller: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Visualisera
Math Open Reference har ett verktyg för att visualisera Central Angle Theorem och dess undantag. Du får dra "grannen" till alla olika delar av cirkeln och se vinklarna förändras. Prova om du vill ha en visuell eller extra övning!