Om du råkar vara nära ett fönster och har utsikt över naturen, märker du en stor närvaro av cirklar? Bil-, lastbils- och cykeldäck, verktygshålskydd på gator och några andra människokonstruerade enheter passar beskrivningen. Många andra saker, som automatiska strålkastare och olika delar av arkitekturen, är "runda", om inte exakt cirkulära.
I de naturliga och matematiska världarna får tvådimensionella cirklar och deras motsvarigheter i tredimensionellt utrymme, sfärer, högsta vikt. Trots allt är jorden själv, tillsammans med de flesta andra himmellegemer, ungefär sfärisk och bildar en cirkel, eller skiva, i tvärsnitt.
Avståndet runt vilken cirkel som helst kan bestämmas utifrån att veta hur bred cirkeln är, och denna till synes arkana observation finner dess väg in i ett överraskande antal fysik- och tekniska problem, till stor del tack vare den berömda matematiska konstanten π ("pi").
Viktiga cirkeldefinitioner
För att bilda en cirkel, börja från valfri punkt A på ett plan eller plan yta och rör dig i en viss riktning i en rak linje tills du känner för att stoppa (punkt r). Sväng sedan vänster eller höger och gå tills du återvänder till din första stopppunkt (r), och håll avståndet mellan dig själv och din ursprungliga startpunkt (A) exakt densamma hela tiden.
Du har precis spårat ut omkrets C av din nybildade cirkel. Avståndet du reste från centrum av cirkeln A till kanten av cirkeln r är radie r, och det längsta avståndet över cirkeln är diameter D, lika med 2r. Alla cirklar har samma form, men naturligtvis inte nödvändigtvis samma storlek.
Om någon använder termen "cirkel längd", försök få ett förtydligande; detta kan betyda längden tvärs över bredden på cirkeln (diametern) eller någon annan del av cirkeln (ett ackord), eller det kan betyda längden hela vägen runt omkring cirkeln (omkrets).
Område och omkrets av en cirkel
Nu får du en introduktion till den konstanta π, den grekiska bokstaven pi. Detta är ett irrationellt tal eller ett decimaltal som aldrig slutar och inte kan uttryckas exakt som en bråkdel. För de flesta ändamål är dock fraktionen 22/7, eller ungefär 3.14286, tillräckligt nära för användning i icke-tekniska beräkningar.
En cirkels omkrets och diameter är relaterade av förhållandet C = 2πr, och i förlängning, av förhållandet C = πD. Således kan du känna till en cirkels radie att beräkna dess omkrets och omvänt.
En cirkels area är också relaterad till radien (eller diametern, om du föredrar) med konstant π, med area A = πr2. Detta innebär att om du vill uttrycka område i termer av omkrets, skulle du lösa ekvationen C = 2πr och ersätta:
r = C / 2π
A = π (C / 2π)2
A = C2/4π
En sfärs område och volym
Eftersom du är här kan du lika gärna skymta stegen för vanliga geometriska figurer till ett tredimensionellt utrymme. Om du har en sfärs omkrets (det vill säga avståndet runt dess bredaste punkt, som ekvatorn som cirklar runt en jordglob på jorden), kan du beräkna dess radie, och du kan sedan använda r för att räkna ut ytarean och volymen på sfär:
Asfär = 4πr2
Vsfär = (4/3) πr3
Diameter på en cirkelräknare
Du kan använda ett onlineverktyg som det som finns i resurserna för att experimentera med olika ingångar i en cirkel (radie, diameter, omkrets, område) för att se vad som händer med utgångarna. Var särskilt uppmärksam på hur område och omkrets förändras med samma stegvisa radieändring.
Vilket ökar snabbare som en funktion av r, area A eller omkrets C? Varför valde du ditt svar matematiskt?