Skillnaden mellan klassisk mekanik och kvantmekanik är enorm. Medan partiklar och objekt i klassisk mekanik har klart definierade positioner, i kvantmekanik (före en mätning) a partikel kan endast sägas ha ett antal möjliga positioner, vilka beskrivs i termer av sannolikheter av vågen fungera.
Schrodinger-ekvationen definierar vågfunktionen i kvantmekaniska system, och att lära sig att använda och tolka den är en viktig del av varje kurs i kvantmekanik. Ett av de enklaste exemplen på en lösning på denna ekvation är för en partikel i en låda.
Wave-funktionen
I kvantmekanik representeras en partikel av avågfunktion. Detta betecknas vanligtvis med den grekiska bokstaven psi (Ψ) och det beror på både position och tid, och det innehåller allt som kan vara känt om partikeln.
Modulen för denna funktion i kvadrat berättar sannolikheten för att partikeln kommer att finnas i positionxvid tidpunktent, förutsatt att funktionen är ”normaliserad”. Detta betyder bara justerat så att det säkert finns påvissa
placeraxjust dåtnär resultaten på varje plats sammanfattas, dvs. normaliseringsvillkoret säger att:\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
Du kan använda vågfunktionen för att beräkna förväntningsvärdet för en partikels position vid tident, där förväntningsvärdet bara betyder det genomsnittliga värde du skulle få förxom du upprepade mätningen ett stort antal gånger. Naturligtvis betyder det inte att det blir resultatet du får för en viss mätning - det vill sägaeffektivtslumpmässigt, även om vissa platser vanligtvis är betydligt mer sannolika än andra.
Det finns många andra kvantiteter som du kan beräkna förväntningsvärden för, såsom momentum och energivärden, liksom många andra "observerbara".
Schrodinger ekvation
Schrodinger-ekvationen är en differentialekvation som används för att hitta värdet för vågfunktionen och egenstaterna för partikelns energi. Ekvationen kan härledas från bevarande av energi och uttryck för den partikelns kinetiska och potentiella energi. Det enklaste sättet att skriva det är:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Men härHrepresenterarHamiltonian operatör, vilket i sig är ett ganska långt uttryck:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + V (x)
Här,mär massan, ℏ är Plancks konstant dividerat med 2π, ochV (x) är en allmän funktion för systemets potentiella energi. Hamiltonian har två distinkta delar - den första termen är systemets kinetiska energi och den andra termen är den potentiella energin.
Varje observerbart värde i kvantmekanik är associerat med en operatör, och i den tidsoberoende versionen av Schrodinger-ekvationen är Hamiltonian energioperatör. Men i den tidsberoende versionen som visas ovan genererar Hamiltonian också vågfunktionens tidsutveckling.
Genom att kombinera all information som finns i ekvationen kan du beskriva partikelns utveckling i rum och tid och förutsäga möjliga energivärden för den också.
Den tidoberoende Schrodinger-ekvationen
Den tidsberoende delen av ekvationen kan tas bort - för att beskriva en situation som inte särskilt utvecklas med tiden - genom att separera vågfunktionen i rymd- och tidsdelar:Ψ(x, t) = Ψ(x) f(t). De tidsberoende delarna kan sedan avbrytas ur ekvationen, vilket lämnar den tidsoberoende versionen av Schrodinger-ekvationen:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
Eär systemets energi. Detta har den exakta formen av en egenvärdeekvation, medΨ(x) är egenfunktionen, ochEär egenvärdet, varför den tidsoberoende ekvationen ofta kallas egenvärdesekvationen för energin i ett kvantmekaniskt system. Tidsfunktionen ges helt enkelt av:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
Den tidsoberoende ekvationen är användbar eftersom den förenklar beräkningarna för många situationer där tidsutveckling inte är särskilt viktig. Detta är den mest användbara formen för "partikel i en låda" -problem och till och med för att bestämma energinivåerna för elektroner runt en atom.
Partikel i en låda (Infinite Square Well)
En av de enklaste lösningarna på den tidsoberoende Schrodinger-ekvationen är för en partikel i en oändligt djup fyrkantig brunn (dvs. en oändlig potentialbrunn) eller en endimensionell låda med bas längdL. Naturligtvis är detta teoretiska idealiseringar, men det ger en grundläggande uppfattning om hur du löser Schrodinger-ekvationen utan att ta hänsyn till många av de komplikationer som finns i naturen.
Med den potentiella energin inställd på 0 utanför brunnen där sannolikhetstätheten också är 0 blir Schrodinger-ekvationen för denna situation:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
Och den allmänna lösningen för en ekvation av denna form är:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
Att titta på gränsvillkoren kan dock bidra till att begränsa detta. Förx= 0 ochx= L, dvs sidorna på lådan eller brunnens väggar, vågfunktionen måste gå till noll. Cosinusfunktionen har ett värde på 1 när argumentet är 0, så för att gränsvillkoren ska vara uppfyllda, konstantenBmåste vara lika med noll. Detta lämnar:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
Du kan också använda gränsvillkoren för att ställa in ett värde förk. Eftersom syndfunktionen går till noll vid värdennπ, där kvantnummern= 0, 1, 2, 3... och så vidare, det betyder närx = L, ekvationen fungerar bara omk = nπ / L. Slutligen kan du använda det faktum att vågfunktionen måste normaliseras för att hitta värdet avA(integrera över alla möjligaxvärden, dvs. från 0 tillLoch ställ sedan in resultatet lika med 1 och ordna om), för att komma fram till det sista uttrycket:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Med den ursprungliga ekvationen och detta resultat kan du sedan lösaE, Vilket ger:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8 ml ^ 2}
Observera att det faktum attnär i detta uttryck betyder att energinivåerna ärkvantiseradså att de inte kan tanågravärde, men endast en diskret uppsättning specifika energinivåvärden beroende på partikelns massa och lådans längd.
Partikel i en låda (Finite Square Well)
Samma problem blir lite mer komplicerat om den potentiella brunnen har en ändlig vägghöjd. Till exempel om potentialenV (x) tar värdetV0 utanför potentialbrunnen och 0 inuti den, kan vågfunktionen bestämmas i de tre huvudregionerna som täcks av problemet. Det här är dock en mer involverad process, så här kan du bara se resultaten snarare än att gå igenom hela processen.
Om brunnen är påx= 0 tillx = Ligen, för regionen därx<0 lösningen är:
Ψ (x) = Var ^ {kx}
För regionenx > L, det är:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
Var
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
För regionen inuti brunnen, där 0 <x < Lär den allmänna lösningen:
Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
Var
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
Du kan sedan använda gränsvillkoren för att bestämma konstanternas värdenA, B, CochDoch noterar att såväl som att ha definierade värden vid brunnens väggar, måste vågfunktionen och dess första derivat vara kontinuerlig överallt, och vågfunktionen måste vara ändlig överallt.
I andra fall, som grunda lådor, smala lådor och många andra specifika situationer, finns det approximationer och olika lösningar du kan hitta.