Produkten av två skalära kvantiteter är en skalär, och produkten av en skalär med en vektor är en vektor, men hur är det med produkten av två vektorer? Är det en skalär eller en annan vektor? Svaret är att det kan vara antingen!
Det finns två sätt att ta en vektorprodukt. En är genom att ta deras dot-produkt, som ger en skalär, och den andra är genom att ta deras cross-produkt, som ger en annan vektor. Vilken produkt som används beror på det specifika scenariot och vilken mängd du försöker hitta.
Korsprodukten av två vektorer ger en tredje vektor som pekar i riktningen vinkelrätt mot plan som sträcks över av de två vektorerna och vars storlek beror på den relativa vinkelrätten hos de två vektorer.
Definition av korsprodukten av vektorer
Vi definierar först tvärprodukten för enhetsvektorernai, jochk(vektorer med magnitud 1 som pekar ix-, y-ochz-komponentanvisningar för det standardkartesiska koordinatsystemet) enligt följande:
\ fet {i \ gånger j} = \ fet {k} \\ \ fet {j \ gånger k} = \ fet {i} \\ \ fet {k \ gånger i} = \ fet {j} \\ \ fet {i \ times i} = \ bold {j \ times j} = \ bold {k \ times k} = 0
Observera att dessa förhållanden är antikommutativa, det vill säga om vi byter ordning på vektorerna vi tar produkten av, vänder det produktens tecken:
\ fet {j \ gånger i} = - \ fet {k} \\ \ fet {k \ gånger j} = - \ fet {i} \\ \ fet {i \ gånger k} = - \ fet {j}
Vi kan använda definitionerna ovan för att härleda formeln för tvärprodukten av tvådimensionella vektorer. Skriv först vektoreraochbsom följer:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
Genom att multiplicera de två vektorerna får vi:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ times (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ fet {k}) \\ = a_xb_x \ fet {i \ gånger i} + a_xb_y \ fet {i \ gånger j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ gånger i} + a_zb_y \ bold {k \ times j} + a_zb_z \ fet {k \ gånger k}
Sedan, med hjälp av enhetsvektorförhållandena ovan, förenklar detta att:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ times i} - a_zb_y \ bold {j \ times k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ times j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ times k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ fet {k}
(Observera att de termer vars tvärprodukt var 0 är de termer som utgör punktprodukten (även kallad skalärprodukten)!Detta är inte en slump.)
Med andra ord:
\ fet {a \ gånger b} = \ fet {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {där} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Storleken på korsprodukten kan hittas med hjälp av Pythagoras sats.
Tvärproduktformeln kan också uttryckas som determinanten för följande matris:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {matrix} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {matris} \ Bigg | \\ = \ Big | \ börjar {matrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ end {matrix} \ Big | \ bold {k}
\ text {Where the determinant} \ Big | \ begin {matrix} a & b \\ c & d \ end {matrix} \ Big | = ad - bc
En annan, ofta mycket bekväm formulering av tvärprodukten är (se slutet på denna artikel för härledningen):
\ fet {a × b} = | \ fet {a} | | \ fet {b} | \ sin (θ) \ fet {n}
Var:
- |a| är storleken (längden) på vektorna
- |b| är storleken (längden) på vektornb
- θ är vinkeln mellan aoch b
- när enhetsvektorn vinkelrät mot planet som sträcks av aochb
Vinkelräta vektorer och högerregeln
I beskrivningen av tvärprodukten anges det att tvärproduktens riktning är vinkelrät mot planet som spänns av vektornaoch vektorb. Men detta lämnar två möjligheter: Det kan pekaut urplanet ellerin iplanet som spänns av dessa vektorer. Verkligheten är att vi faktiskt kan välja antingen så länge vi är konsekventa. Den gynnade riktningen som valts av matematiker och forskare bestäms dock av något som kallashögerregel.
För att bestämma riktningen för en vektorkorsprodukt med hjälp av högerregeln, peka pekfingret på din högra hand i riktningen för vektornaoch ditt långfinger i riktning mot vektornb. Din tumme pekar sedan i riktningen mot korsproduktvektorn.
Ibland är dessa anvisningar svåra att skildra på ett plant papper, så ofta görs följande konventioner:
För att ange en vektor som går in på sidan ritar vi en cirkel med en X i den (tänk på detta som representerar svansfjädrarna i slutet av pilen när du tittar på den bakifrån). För att indikera en vektor som går i motsatt riktning ut från sidan drar vi en cirkel med en prick i den (tänk på detta som spetsen på pilen som pekar ut från sidan).
•••na
Egenskaper hos tvärprodukten
Följande är flera egenskaper hos vektorkorsprodukten:
\ # \ text {1. Om} \ bold {a} \ text {och} \ bold {b} \ text {är parallella, så} \ bold {a \ gånger b} = 0
\ # \ text {2. } \ bold {a \ times b} = - \ bold {b \ times a}
\ # \ text {3. } \ bold {a \ times (b + c)} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ times c}
\ # \ text {4. } (c \ bold {a) \ times b} = c (\ bold {a \ times b})
\ # \ text {5. } \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ bold {(a \ times b) \ cdot c}
\ text {Where} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ begin {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {matrix } \ Bigg |
Geometrisk tolkning av tvärprodukten
När vektorkorsprodukten formuleras i termer av sin (θ) kan dess storlek tolkas som att den representerar arean av parallellogrammet som spänns av de två vektorerna. Detta beror på atta × b, |b| sin (θ) = parallellogramets höjd, som visas, och |a| är basen.
•••Dana Chen | Sciencing
Storleken på vektorn trippelprodukta (b × c) kan i sin tur tolkas som volymen av parallellpiped som spänns av vektorernaa, bochc. Det här är för att(b × c) ger en vektor vars storlek är det område som spänner över vektornboch vektorcoch vars riktning är vinkelrät mot det området. Tar prickprodukten av vektornamed detta resultat multiplicerar i huvudsak basarean gånger höjden.
Exempel
Exempel 1:Kraften på en laddningspartikelqrör sig med hastighetvi magnetfältBges av:
\ fet {F} = q \ fet {v \ gånger B}
Antag att en elektron passerar genom ett magnetfält på 0,005 T med hastigheten 2 × 107 Fröken. Om den passerar vinkelrätt genom fältet är kraften den kommer att känna:
\ fet {F} = q \ fet {v \ gånger B} = qvB \ sin (\ theta) \ fet {n} = (-1,602 \ gånger 10 ^ {19}) (2 \ gånger 10 ^ 7) (0,005 ) \ sin (90) \ fet {n} = -1,602 \ gånger 10 ^ {- 14} \ text {N} \ fet {n}
Men om elektronen färdas parallellt med fältet, blir θ = 0 och sin (0) = 0, vilket gör kraften 0.
Observera att för elektronen som passerar vinkelrätt genom fältet kommer denna kraft att få den att röra sig i en cirkulär bana. Radien på denna cirkulära väg kan hittas genom att ställa in magnetkraften lika med centripetalkraften och lösa radienr:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ innebär r = \ frac {mv} {qB}
För exemplet ovan ger anslutning av siffrorna en radie på cirka 0,0227 m.
Exempel 2:Det fysiska kvantitetsmomentet beräknas också med hjälp av en vektorkorsprodukt. Om en kraftFappliceras på ett objekt i positionrfrån vridpunkten, vridmomentetτom ledpunkten ges av:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F}
Tänk på situationen där en 7 N kraft appliceras i en vinkel mot änden av en 0,75 stav vars andra ände är fäst vid en sväng. Vinkeln mellanrochFär 70 grader, så vridmomentet kan beräknas:
\ fet {\ tau} = \ fet {r \ gånger F} = rF \ sin (\ theta) = (0,75) (7) \ sin (70) \ fet {n} = 4,93 \ text {Nm} \ fet { n}
Momentets riktning,n, finns via högerregeln. Om den används på bilden ovan ger detta en riktning som kommer ut från sidan eller skärmen. I allmänhet vill ett vridmoment som appliceras på ett objekt få objektet att rotera. Momentvektorn kommer alltid att ligga i samma riktning som rotationsaxeln.
I själva verket kan en förenklad högerhandregel användas i denna situation: Använd din högra hand för att "gripa" rotationsaxeln i på ett sådant sätt att fingrarna böjer sig i den riktning det tillhörande vridmomentet vill få objektet att rotera. Tummen pekar sedan i riktning mot vridmomentvektorn.
Derivation of Cross Product Formula
\ text {Här visar vi hur korsproduktformeln} \ fet {a × b} = | \ fet {a} | | \ fet {b} | \ sin (θ) \ fet {n} \ text {kan härledas.}
Tänk på två vektoreraochbmed vinkelθmellan dem. En höger triangel kan bildas genom att rita en linje från vektorspetsenatill en vinkelrät kontaktpunkt på vektornb.
Med Pythagoras sats får vi följande förhållande:
\ Big | \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ Big | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ fet {a} | ^ 2
\ text {Var} \ Stor (\ frac {\ fet {a \ cdot b}} {| \ fet {b} | ^ 2} \ Stor) \ fet {b} \ text {är projektionen av vektorn} \ fet {a} \ text {till vektor} \ fet {b}.
Att förenkla uttrycket lite får vi följande:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { a} | ^ 2
Därefter multiplicerar du båda sidor av ekvationen med |b|2 och flytta den första terminen till höger för att få:
| \ fet {a} | ^ 2 | \ fet {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ fet {a} | ^ 2 | \ fet {b} | ^ 2 - | \ fet { a \ cdot b} | ^ 2
Arbeta med höger sida, multiplicera allt och förenkla sedan:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z - a_yb_z (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ fet {a \ gånger b} | ^ 2
Genom att ställa in resultatet lika med vänster sida av föregående ekvation får vi följande förhållande:
| \ fet {a \ gånger b} | = | \ fet {a} || \ fet {b} || \ sin (\ theta) |
Detta visar oss att storheterna är desamma i formeln, så det sista du ska göra för att bevisa formeln är att visa att riktningarna också är desamma. Detta kan göras helt enkelt genom att ta prickprodukterna frånameda × bochbmeda × boch visar att de är 0, vilket antyder att riktningen ava × b är vinkelrätt mot båda.
