Punktprodukt (vektor): Definition, formel, hur man hittar (med diagram och exempel)

Produkten av två skalära kvantiteter är en skalär, och produkten av en skalär med en vektor är en vektor, men hur är det med produkten av två vektorer? Är det en skalär eller en annan vektor? Svaret är att det kan vara antingen!

Det finns två sätt att multiplicera vektorer tillsammans. Den ena är genom att ta deras dot-produkt, som ger en skalär, och den andra är att ta deras cross-produkt, som ger en annan vektor. Vilken produkt som ska användas beror på det specifika scenariot och vilken mängd du försöker hitta.

Depunkt produktibland kallasskalär produktellerinre produkt. Geometriskt kan du tänka på punktprodukten mellan två vektorer som ett sätt att multiplicera vektorvärdena som bara räknar bidrag i samma riktning.

• Obs: Punktprodukter kan vara negativa eller positiva, men det tecknet är inte en riktningsindikering. Även om vektorriktning i en dimension ofta anges med tecken, kan skalära kvantiteter också ha tecken associerade med dem som inte är riktningsindikatorer. Skuld är bara ett av många exempel på detta.

Punktprodukten av vektorera​ ​= (a_x, a_y)ochb​ ​= (b_x, b_y)i ett standard kartesiskt koordinatsystem definieras enligt följande:

När du tar prickprodukten av en vektor med sig själv uppstår ett intressant förhållande:

Var |a| är storleken (längden) påaav Pythagoras sats.

En annan punktproduktformel kan härledas med hjälp av cosinuslagen. Detta görs enligt följande:

Tänk på icke-nollvektoreraochbtillsammans med deras skillnadsvektora - b. Ordna de tre vektorerna så att de bildar en triangel.

Lagen om cosinus från trigonometri säger oss att:

Och med definitionen av punktprodukten får vi:

Att ställa in båda uttrycken lika och sedan förenkla får vi:

Denna formulering gör det möjligt för vår geometriska intuition att spela in. Kvantiteten |a| cos (θ) är storleken på projektion av vektornapå vektorb​.

Så vi kan tänka på punktprodukten som projektionen av en vektor på den andra och sedan produkten av deras värden. Med andra ord kan det ses som en produkt av en vektor med mängden av den andra vektorn i samma riktning som sig själv.

Följande är flera egenskaper för punktprodukten som du kanske tycker är användbara:

Detta beror på att cos (0) = 1.

Detta beror på att cos (180) = -1.

Detta beror på att cos (90) = 0.

• Obs: För 0 <

θ

<90 kommer punktprodukten att vara positiv och för 90 <

θ

<180 kommer punktprodukten att vara negativ.

Detta följer av att kommutativ lag tillämpas på definitionen av punktprodukten.

Bevis:

Bevis:

​Exempel 1:I fysik, arbete utfört av en kraft​F​på ett föremål när det genomgår förskjutning​d​, är definierad som:

Där θ är vinkeln mellan kraftvektorn och förskjutningsvektorn.

Mängden arbete som utförs av en kraft är en indikation på hur mycket den kraften bidrog till förskjutningen. Om kraften är i samma riktning som förskjutningen (cos (θ) = 0) ger den sitt maximala bidrag. Om den är vinkelrät mot förskjutningen (cos (Ѳ) = 90), det bidrar inte alls. Och om det är mittemot förskjutningen, (cos (θ) = 180), ger det ett negativt bidrag.

Antag att ett barn skjuter ett leksakståg över ett spår genom att applicera en kraft på 5 N i en vinkel på 25 grader i förhållande till banans linje. Hur mycket arbete gör barnet på tåget när hon flyttar det 0,5 m?

Lösning:

Med hjälp av punktproduktdefinitionen av arbete och anslutning av värden får vi sedan:

Från detta konkreta exempel bör det vara ännu tydligare att det inte fungerar att använda en kraft vinkelrätt mot förskjutningsriktningen. Om barnet sköt tåget i rät vinkel mot spåret rör sig tåget varken framåt eller bakåt längs spåret. Det är också intuitivt att barnets arbete på tåget kommer att öka när vinkeln minskar och kraften och förskjutningen närmar sig inriktningen.

​Exempel 2:Kraft är ett annat exempel på en fysisk kvantitet som kan beräknas med hjälp av en punktprodukt. I fysik är kraft lika med arbete dividerat med tid, men det kan också skrivas som punktprodukten av kraft och hastighet som visas:

Var​v​är hastighet.

Tänk på föregående exempel på att barnet leker med tåget. Om vi ​​istället får veta att samma kraft appliceras och orsakar att tåget rör sig 2 m / s nerför spåret, så kan vi använda punktprodukten för att hitta kraften:

​Exempel 3:Ett annat exempel där prickprodukter används i fysik är i fallet med magnetiskt flöde. Magnetiskt flöde är mängden magnetfält som passerar genom ett visst område. Det finns som punktprodukten av magnetfältetBmed områdetA. (Riktningen för en areavektor ärvanligteller vinkelrätt mot ytan på området.)

Antag att ett fält på 0,02 Tesla passerar genom en trådslinga med en radie av 10 cm, vilket gör en vinkel på 30 grader med det normala. Vad är flödet?

När detta flöde ändras, antingen genom att ändra fältvärdet, ändra loopområdet eller ändra vinkel genom att rotera slingan eller fältkällan, kommer ström att induceras i slingan, vilket genererar elektricitet!

Notera igen hur vinkeln är relevant på ett intuitivt sätt. Om vinkeln var 90 grader skulle detta innebära att fältet skulle ligga längs samma plan som området och inga fältlinjer skulle passera genom slingan, vilket resulterade i inget flöde. Mängden flöde ökar då ju närmare vinkeln mellan fältet och det normala blir 0. Punktprodukten gör det möjligt för oss att bestämma hur mycket fältet är i riktning mot ytan och bidrar därmed till flödet.

I tidigare avsnitt nämndes det att punktprodukten kan ses som ett sätt att projicera en vektor på en annan och sedan multiplicera deras storlek. Som sådan bör det inte vara förvånande att en formel för vektorprojektion kan härledas från punktprodukten.

För att projicera vektorapå vektorb, tar vi punktprodukten avamed enenhetsvektori riktning motboch multiplicera sedan detta skalära resultat med samma enhetsvektor.

En enhetsvektor är en vektor med längd 1 som ligger i en viss riktning. Enhetsvektorn i riktning mot vektornbär helt enkelt vektorbdividerat med dess storlek:

Så denna projektion är då:

Precis som vektorer finns i högre dimension, så gör punktprodukten det också. Föreställ dig exemplet med att barnet skjuter tåget igen. Antag att hon skjuter både nedåt och i en vinkel mot spårets sida. I ett standardkoordinatsystem måste kraft- och förskjutningsvektorerna representeras som tredimensionella.

Inmått definieras punktprodukten enligt följande:

Alla samma prickproduktegenskaper från tidigare gäller fortfarande och cosinuslagen ger återigen förhållandet:

Där storleken på varje vektor återfinns via följande, återigen i överensstämmelse med den pythagoreiska satsen:

​Exempel 1:Punktprodukten är särskilt användbar när man behöver hitta vinkeln mellan två vektorer. Antag till exempel att vi vill bestämma vinkeln mellana= (2, 3, 2) ochb= (1, 4, 0). Även om du skisserar dessa två vektorer i 3-utrymme kan det vara väldigt svårt att linda huvudet runt geometrin. Men matematiken är ganska enkel, med det faktum att:

Sedan beräknar du punktprodukten avaochb​:

Och beräknar storleken på varje vektor:

Och slutligen koppla in allt, vi får:

​Exempel 2:En positiv laddning sitter vid koordinatpunkten (3, 5, 4) i ett tredimensionellt utrymme. Vid vilken punkt längs linjen som pekar i riktning mot vektorna= (6, 9, 5) är det elektriska fältet störst?

Lösning: Från vår kunskap om hur elektrisk fältstyrka relaterar till avstånd vet vi att poängen på linjen som ligger närmast den positiva laddningen är platsen där fältet kommer att vara starkast. Från vår kunskap om prickprodukter kan vi gissa att det är vettigt att använda projektionsformeln här. Den formeln ska ge oss en vektor vars spets är exakt vid den punkt vi letar efter.

Vi måste beräkna:

För att göra det, låt oss först hitta |a​|²:

Sedan punktprodukten:

Dela upp detta med |a​|² ger 83/142 = 0,585. Multiplicera sedan denna skalär medager:

Därav är punkten längs linjen där fältet är starkast (3.51, 5.27, 2.93).