Schrodinger-ekvationen är den mest grundläggande ekvationen i kvantmekanik, och att lära sig hur man använder den och vad den betyder är avgörande för alla spirande fysiker. Ekvationen är uppkallad efter Erwin Schrödinger, som vann Nobelpriset tillsammans med Paul Dirac 1933 för deras bidrag till kvantfysik.
Schrodingers ekvation beskriver vågfunktionen i ett kvantmekaniskt system, vilket ger probabilistisk information om placeringen av en partikel och andra observerbara mängder som dess Momentum. Det viktigaste du kommer att inse om kvantmekanik efter att ha lärt dig om ekvationen är att lagarna i kvantområdet ärmycket olikafrån klassisk mekanik.
Wave-funktionen
Vågfunktionen är ett av de viktigaste begreppen i kvantmekanik, eftersom varje partikel representeras av en vågfunktion. Det ges vanligtvis den grekiska bokstaven psi (Ψ), och det beror på position och tid. När du har ett uttryck för vågfunktionen hos en partikel, berättar den allt du kan känna till det fysiska systemet och olika värden för observerbara mängder kan erhållas genom att använda en operatör till Det.
Kvadraten för vågfunktionens modul berättar sannolikheten för att hitta partikeln i en positionxvid en given tidpunktt. Detta är bara fallet om funktionen är "normaliserad", vilket innebär att summan av kvadratmodulen över alla möjliga platser måste vara lika med 1, dvs att partikeln ärvissaatt lokaliserasnågonstans.
Observera att vågfunktionen bara ger sannolik information, så att du inte kan förutsäga resultatet av någon observation, även om duburkbestämma genomsnittet över många mätningar.
Du kan använda vågfunktionen för att beräkna“Förväntningsvärde”för partikelns position vid tident, med förväntningsvärdet som medelvärdet avxdu skulle få om du upprepade mätningen många gånger.
Återigen berättar detta inget om en viss mätning. Faktum är att vågfunktionen är mer sannolikhetsfördelning för en enda partikel än något konkret och pålitligt. Genom att använda lämplig operatör kan du också få förväntningsvärden för momentum, energi och andra observerbara mängder.
Schrodinger-ekvationen
Schrodinger-ekvationen är linjär partiell differentialekvation som beskriver utvecklingen av a kvanttillstånd på ett liknande sätt som Newtons lagar (särskilt den andra lagen) i klassisk mekanik.
Schrodinger-ekvationen är emellertid en vågekvation för den aktuella partikelns vågfunktion, och därför är ekvationen för att förutsäga det framtida tillståndet i ett system kallas ibland "vågmekanik." Själva ekvationen härrör från energibesparing och är uppbyggd kring en operatör som kallas Hamiltonian.
Den enklaste formen av Schrodinger-ekvationen att skriva ner är:
H Ψ = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Där ℏ är den reducerade Plancks konstant (dvs. konstanten dividerad med 2π) ochHär den Hamiltoniska operatören, vilket motsvarar summan av kvantsystemets potentiella energi och kinetiska energi (total energi). Hamiltonian är dock ett ganska långt uttryck, så hela ekvationen kan skrivas som:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 Ψ} {\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Noterar att ibland (för uttryckligen tredimensionella problem) skrivs det första partiella derivatet som den laplaciska operatören ∇2. I huvudsak agerar Hamiltonian på vågfunktionen för att beskriva dess utveckling i rum och tid. Men i den tidsoberoende versionen av ekvationen (dvs. när systemet inte är beroende avt) ger Hamiltonian energin i systemet.
Att lösa Schrodinger-ekvationen innebär att hittakvantmekanisk vågfunktionsom uppfyller det för en viss situation.
Den tidsberoende Schrodinger-ekvationen
Den tidsberoende Schrodinger-ekvationen är versionen från föregående avsnitt, och den beskriver utvecklingen av vågfunktionen för en partikel i tid och rum. Ett enkelt fall att överväga är en fri partikel eftersom den potentiella energinV= 0, och lösningen har formen av en plan våg. Dessa lösningar har formen:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Vark = 2π / λ, λär våglängden, ochω = E / ℏ.
För andra situationer beskriver den potentiella energidelen i den ursprungliga ekvationen gränsvillkor för rumslig del av vågfunktionen, och den separeras ofta i en tidsutvecklingsfunktion och en tidsoberoende ekvation.
Den tidsoberoende Schrodinger-ekvationen
För statiska situationer eller lösningar som bildar stående vågor (som den potentiella brunnen, "partikel i en låda" -lösningar) kan du separera vågfunktionen i tids- och rymddelar:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
När du går igenom detta helt kan tidsdelen avbrytas och lämnar en form av Schrodinger-ekvationen somendastberor på partikelns position. Den tidsoberoende vågfunktionen ges sedan av:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
HärEär energin i det kvantmekaniska systemet, ochHär Hamilton-operatören. Denna form av ekvationen har den exakta formen av en egenvärdeekvation, med vågfunktionen är egenfunktionen, och energin är egenvärdet när Hamilton-operatören används till det. Genom att utvidga Hamiltonian till en mer uttrycklig form kan den skrivas i sin helhet som:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 Ψ} {\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
Tidsdelen av ekvationen ingår i funktionen:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Lösningar på den tidsoberoende Schrodinger-ekvationen
Den tidsoberoende Schrodinger-ekvationen lämpar sig väl för ganska enkla lösningar eftersom den trimmar ner hela ekvationens form. Ett perfekt exempel på detta är gruppen "partikel i en låda" av lösningar där partikeln antas ha en oändlig kvadratpotential i en dimension, så det finns ingen potential (dvs.V= 0) hela tiden, och det finns ingen chans att partikeln hittas utanför brunnen.
Det finns också en ändlig fyrkantig brunn, där potentialen vid "väggarna" i brunnen inte är oändlig och även om den är högre än partikelns energi finns detvissamöjlighet att hitta partikeln utanför den på grund av kvanttunnel. För den oändliga potentialbrunnen har lösningarna formen:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
VarLär brunnens längd.
En delta-funktionspotential är ett mycket liknande koncept som potentialbrunnen, förutom med breddenLgår till noll (dvs att vara oändlig runt en enda punkt) och djupet på brunnen går till oändlighet, medan produkten av de två (U0) förblir konstant. I denna mycket idealiserade situation finns det bara ett bundet tillstånd, givet av:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
Med energi:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Väteatomlösning till Schrodinger-ekvationen
Slutligen har väteatomlösningen uppenbara tillämpningar på verklig fysik, men i praktiken situationen för en elektron runt kärnan i en väteatom kan ses som ganska lik den potentiella brunnen problem. Situationen är dock tredimensionell och beskrivs bäst i sfäriska koordinaterr, θ, ϕ. Lösningen i detta fall ges av:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
VarPär Legendre-polynomerna,Rär specifika radiella lösningar, ochNär en konstant du fixar med det faktum att vågfunktionen ska normaliseras. Ekvationen ger energinivåer som ges av:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
VarZhär är atomnummer (såZ= 1 för en väteatom),ei detta fall är laddningen av en elektron (snarare än konstantene = 2.7182818...), ϵ0 är permittiviteten för fritt utrymme, ochμär den reducerade massan, som är baserad på massorna av protonen och elektronen i en väteatom. Detta uttryck är bra för alla väteliknande atomer, vilket betyder alla situationer (inklusive joner) där det finns en elektron som kretsar kring en central kärna.