Att lösa mysterierna med elektromagnetism har varit en av de största prestationerna inom fysik hittills, och de lärda lärdomarna är helt inkapslade i Maxwells ekvationer.
James Clerk Maxwell ger sitt namn till dessa fyra eleganta ekvationer, men de är kulminationen på många decenners arbete av många fysiker, inklusive Michael Faraday, Andre-Marie Ampere och Carl Friedrich Gauss - som ger sina namn till tre av de fyra ekvationerna - och många andra. Medan Maxwell själv bara lade till en term i en av de fyra ekvationerna, hade han framsynthet och förståelse samla det bästa av det arbete som gjorts om ämnet och presentera dem på ett sätt som fortfarande används av fysiker idag.
Under många, många år trodde fysiker att elektricitet och magnetism var separata krafter och tydliga fenomen. Men genom det experimentella arbetet hos människor som Faraday blev det allt tydligare att de faktiskt var två sidor av samma fenomen, och Maxwells ekvationer presenterar denna enhetliga bild som fortfarande är lika giltig idag som den var på 19: e århundrade. Om du ska studera fysik på högre nivåer måste du absolut känna till Maxwells ekvationer och hur du använder dem.
Maxwells ekvationer
Maxwells ekvationer är följande, både i differentiell form och integralform. (Observera att även om kunskap om differentiella ekvationer är till hjälp här, är en konceptuell förståelse möjlig även utan den.)
Gauss lag för elektricitet
Differentiell form:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
Integrerad form:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Ingen monopollag / Gauss lag för magnetism
Differentiell form:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
Integrerad form:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
Faradays induktionslag
Differentiell form:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
Integrerad form:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
Ampere-Maxwell Law / Ampere's Law
Differentiell form:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
Integrerad form:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Symboler som används i Maxwells ekvationer
Maxwells ekvationer använder ett ganska stort urval av symboler, och det är viktigt att du förstår vad dessa betyder om du ska lära dig att tillämpa dem. Så här är en nedladdning av betydelsen av de använda symbolerna:
B= magnetfält
E= elektriskt fält
ρ= elektrisk laddningstäthet
ε0= permittivitet av ledigt utrymme = 8.854 × 10-12 m-3 kg-1 s4 A2
q= total elektrisk laddning (nettosumman av positiva och negativa laddningar)
𝜙B = magnetiskt flöde
J= strömtäthet
Jag= elektrisk ström
c= ljusets hastighet = 2.998 × 108 Fröken
μ0 = permeabilitet för ledigt utrymme = 4π × 10−7 Ej tillämpligt2
Dessutom är det viktigt att veta att ∇ är deloperatören, en punkt mellan två kvantiteter (X ∙ Y) visar en skalärprodukt, en fetstil multiplikationssymbol mellan två kvantiteter är en vektorprodukt (X × Y), att deloperatören med en punkt kallas "divergens" (t.ex. ∇ ∙ X= divergens avX= divX) och en deloperatör med en skalärprodukt kallas curl (t.ex. ∇× Y= lock avY= lockY). Slutligen,Ai dAbetyder ytan på den stängda ytan du beräknar för (ibland skrivs som dS), och densi dsär en mycket liten del av den öppna ytan som du beräknar för (även om det ibland är dl, med hänvisning till en oändligt liten linjekomponent).
Derivation av ekvationerna
Den första ekvationen av Maxwells ekvationer är Gauss lag, och den säger att nätets elektriska flöde genom a sluten yta är lika med den totala laddningen som finns inne i formen dividerad med fri permittivitet Plats. Denna lag kan härledas från Coulombs lag, efter att ha tagit det viktiga steget att uttrycka Coulombs lag i termer av ett elektriskt fält och den effekt det skulle ha på en testladdning.
Den andra av Maxwells ekvationer motsvarar i huvudsak påståendet att "det finns inga magnetiska monopol." Det står att nätmagnetflödet genom en sluten yta alltid kommer att vara 0, eftersom magnetfält alltid är resultatet av a dipol. Lagen kan härledas från Biot-Savart-lagen, som beskriver magnetfältet som produceras av ett aktuellt element.
Den tredje ekvationen - Faradays induktionslag - beskriver hur ett magnetfält som förändras producerar en spänning i en tråd eller ledare. Det härleddes ursprungligen från ett experiment. Med tanke på resultatet att ett förändrat magnetiskt flöde inducerar en elektromotorisk kraft (EMF eller spänning) och därmed en elektrisk ström i en trådslinga, och det faktum att EMF definieras som linjens integral i det elektriska fältet runt kretsen, är lagen lätt att sätta tillsammans.
Den fjärde och sista ekvationen, Ampere's law (eller Ampere-Maxwell-lagen för att ge honom kredit för sin bidrag) beskriver hur ett magnetfält genereras av en rörlig laddning eller en elektrisk förändring fält. Lagen är resultatet av experiment (och så - som alla Maxwells ekvationer - var inte riktigt "härledda" i traditionell mening), utan att användaStokes satsär ett viktigt steg för att få det grundläggande resultatet till den form som används idag.
Exempel på Maxwells ekvationer: Gauss 'lag
För att vara uppriktig, speciellt om du inte är exakt uppe i din vektorkalkyl, ser Maxwells ekvationer ganska skrämmande ut trots hur relativt kompakta de alla är. Det bästa sättet att verkligen förstå dem är att gå igenom några exempel på att använda dem i praktiken, och Gauss lag är det bästa stället att börja. Gauss lag är i grunden en mer grundläggande ekvation som gör jobbet med Coulombs lag, och det är det ganska lätt att härleda Coulombs lag genom att överväga det elektriska fält som produceras av en punkt avgift.
Ringer avgiftenq, nyckelpunkten för att tillämpa Gauss lag är att välja rätt "yta" för att undersöka det elektriska flödet genom. I det här fallet fungerar en sfär bra, som har ytareaA = 4πr2, eftersom du kan centrera sfären på punktladdningen. Detta är en stor fördel för att lösa sådana problem eftersom du då inte behöver integrera ett varierande fält över ytan; fältet kommer att vara symmetriskt kring punktladdningen, och så kommer det att vara konstant över sfärens yta. Så den integrerade formen:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Kan uttryckas som:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
Observera attEför det elektriska fältet har ersatts med en enkel storlek, eftersom fältet från en punktladdning helt enkelt kommer att spridas lika i alla riktningar från källan. Nu genom att dela genom sfärens ytarea ger:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
Eftersom kraften är relaterad till det elektriska fältet avE = F/q, varqär en testavgift,F = qE, och så:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
Där prenumerationerna har lagts till för att differentiera de två avgifterna. Detta är Coulombs lag som anges i standardform, visat sig vara en enkel följd av Gauss lag.
Exempel på Maxwells ekvationer: Faradays lag
Faradays lag gör att du kan beräkna den elektromotoriska kraften i en trådslinga som härrör från ett magnetfält som förändras. Ett enkelt exempel är en trådslinga med radier= 20 cm, i ett magnetfält som ökar i storlek frånBi = 1 T tillBf = 10 T i intervallet ∆t= 5 s - vad är den inducerade EMF i detta fall? Den integrerade formen av lagen involverar flödet:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
som definieras som:
ϕ = BA \ cos (θ)
Den viktigaste delen av problemet här är att hitta flödesförändringshastigheten, men eftersom problemet är ganska enkelt kan du ersätta delderivatet med en enkel ”förändring i” varje kvantitet. Och integralen betyder egentligen bara den elektromotoriska kraften, så att du kan skriva om Faradays induktionslag som:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
Om vi antar att trådslingan är normal i linje med magnetfältet,θ= 0 ° och så cos (θ) = 1. Detta lämnar:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}
Problemet kan sedan lösas genom att hitta skillnaden mellan det initiala och slutliga magnetfältet och slingans område, enligt följande:
\ begin {align} \ text {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0,2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0,23 \ text {V } \ slut {justerad}
Detta är bara en liten spänning, men Faradays lag tillämpas på samma sätt oavsett.
Exempel på Maxwells ekvationer: Ampere-Maxwell Law
Ampere-Maxwell-lagen är den sista av Maxwells ekvationer som du måste använda regelbundet. Ekvationen återgår till Ampers lag i frånvaro av ett förändrat elektriskt fält, så detta är det enklaste exemplet att överväga. Du kan använda den för att härleda ekvationen för ett magnetfält som härrör från en rak ledning som bär en strömJagoch detta grundläggande exempel räcker för att visa hur ekvationen används. Den fullständiga lagen är:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Men utan något förändrat elektriskt fält minskar det till:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
Som med Gauss lag, om du väljer en cirkel för ytan, centrerad på slingan, antyder intuition att det resulterande magnetfältet kommer att vara symmetrisk, och så kan du ersätta integralen med en enkel produkt av slingans omkrets och magnetfältets styrka, lämnar:
B × 2πr = μ_0 I
Dela upp med 2πrger:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
Vilket är det accepterade uttrycket för magnetfältet på avståndrresulterande från en rak ledning som bär en ström.
Elektromagnetiska vågor
När Maxwell monterade sin serie ekvationer började han hitta lösningar på dem för att förklara olika fenomen i den verkliga världen, och den insikt den gav i ljuset är ett av de viktigaste resultaten han erhållits.
Eftersom ett förändrat elektriskt fält genererar ett magnetfält (enligt Ampers lag) och ett magnetfält som förändras genererar ett elektriskt fält (enligt Faradays lag), utarbetade Maxwell att en självförökande elektromagnetisk våg kan vara möjlig. Han använde sina ekvationer för att hitta vågekvationen som skulle beskriva en sådan våg och bestämde att den skulle färdas med ljusets hastighet. Detta var ett slags "eureka" ögonblick; han insåg att ljus är en form av elektromagnetisk strålning, som fungerar precis som det fält han föreställde sig!
En elektromagnetisk våg består av en elektrisk fältvåg och en magnetfältsvåg som svänger fram och tillbaka, inriktad i rät vinkel mot varandra. Svängningen av den elektriska delen av vågen genererar magnetfältet, och oscilleringen av denna del ger i sin tur ett elektriskt fält igen, om och om igen när det färdas genom rymden.
Liksom alla andra vågor har en elektromagnetisk våg en frekvens och en våglängd, och produkten av dessa är alltid lika medc, ljusets hastighet. Elektromagnetiska vågor finns runt omkring oss, och förutom synligt ljus kallas andra våglängder vanligtvis radiovågor, mikrovågor, infraröd, ultraviolett, röntgenstrålning och gammastrålning. Alla dessa former av elektromagnetisk strålning har samma grundform som förklaras av Maxwells ekvationer, men deras energier varierar med frekvens (dvs. en högre frekvens betyder högre energi).
Så för en fysiker var det Maxwell som sa: "Låt det vara ljus!"