För att konstruera en vektor som är vinkelrät mot en annan given vektor kan du använda tekniker baserade på punktprodukten och tvärprodukten av vektorer. Punktprodukten för vektorerna A = (a1, a2, a3) och B = (b1, b2, b3) är lika med summan av produkterna för motsvarande komponenter: A ∙ B = a1_b2 + a2_b2 + a3_b3. Om två vektorer är vinkelräta är deras punktprodukt lika med noll. Tvärprodukten från två vektorer definieras som A × B = (a2_b3 - a3_b2, a3_b1 - a1_b3, a1_b2 - a2 * b1). Korsprodukten av två icke-parallella vektorer är en vektor som är vinkelrät mot dem båda.
Skriv ner en hypotetisk, okänd vektor V = (v1, v2).
Beräkna punktprodukten för denna vektor och den angivna vektorn. Om du får U = (-3,10) är punktprodukten V ∙ U = -3 v1 + 10 v2.
Ställ in punktprodukten lika med 0 och lösa en okänd komponent i termer av den andra: v2 = (3/10) v1.
Välj valfritt värde för v1. Låt till exempel v1 = 1.
Lös för v2: v2 = 0,3. Vektorn V = (1,0,3) är vinkelrät mot U = (-3,10). Om du väljer v1 = -1 får du vektorn V ’= (-1, -0.3), som pekar i motsatt riktning för den första lösningen. Dessa är de enda två riktningarna i det tvådimensionella planet vinkelrätt mot den givna vektorn. Du kan skala den nya vektorn till vilken storlek du vill. För att till exempel göra det till en enhetsvektor med magnitud 1 skulle du konstruera W = V / (magnitude of v) = V / (sqrt (10) = (1 / sqrt (10), 0.3 / sqrt (10).
Välj valfri godtycklig vektor som inte är parallell med den angivna vektorn. Om en vektor Y är parallell med en vektor X, är Y = a * X för någon icke-noll konstant a. För enkelhetens skull, använd en av enhetsbasisvektorerna, till exempel X = (1, 0, 0).
Beräkna tvärprodukten för X och U med U = (10, 4, -1): W = X × U = (0, 1, 4).
Kontrollera att W är vinkelrätt mot U. W ∙ U = 0 + 4 - 4 = 0. Att använda Y = (0, 1, 0) eller Z = (0, 0, 1) ger olika vinkelräta vektorer. De ligger alla i det plan som definieras av ekvationen 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0.