Vad händer när du höjer ett tal till en bråkdel?

När du "höjer ett tal till en kraft" multiplicerar du själva talet och "makten" representerar hur många gånger du gör det. Så 2 höjd till 3: e effekten är samma som 2 x 2 x 2, vilket är lika med 8. När du höjer ett tal till en bråk, går du dock i motsatt riktning - du försöker hitta "roten" till numret.

Den matematiska termen för att höja ett tal till en makt är "exponentiering". Ett exponentiellt uttryck har två delar: basen, vilket är antalet du höjer och exponenten, som är "makten". Så när du höjer 2 till 3: e makten är basen 2 och exponenten är 3. Att höja basen till den andra kraften kallas vanligtvis att kvadrera basen, medan att höja den till den tredje kraften kallas vanligtvis kuben. Matematiker skriver vanligtvis exponentiella uttryck med exponenten i superscript - det vill säga som ett litet tal högst upp till höger om basen. Eftersom vissa datorer, miniräknare och andra enheter inte hanterar superscript mycket bra, är också exponentiella uttryck vanligen skrivna så här: 2 ^ 3. Vaktmästaren - den uppåt pekande symbolen - säger att det som följer är exponenten.

I matematik är "rötter" lite som exponenter i omvänd ordning. Ta till exempel "2 till fjärde kraft", förkortat 2 ^ 4. Det är lika med 2 x 2 x 2 x 2 eller 16. Eftersom 2 multiplicerat med sig själv fyra gånger är lika med 16 är den "4: e roten" av 16 2. Titta nu på siffran 729. Det bryts ner till 9 x 9 x 9 - så 9 är den tredje roten av 729. Det bryts också ner till 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 - så 3 är den 6: e roten av 729. Den andra roten till ett nummer kallas vanligtvis roten ur, och den tredje roten är kubikroten.

När exponenten är en bråkdel letar du efter basen. Roten motsvarar nämnaren för fraktionen. Ta till exempel "125 höjt till 1/3 effekt", eller 125 ^ 1/3. Fraktionsnämnaren är 3, så du letar efter den tredje roten (eller kubrot) på 125. Eftersom 5 x 5 x 5 = 125 är den tredje roten av 125 5. Således är 125 ^ 1/3 = 5. Försök nu 256 ^ 1/4. Du letar efter den fjärde roten av 256. Eftersom 4 x 4 x 4 x 4 = 256 är svaret 4.

De fraktionerade exponenter diskuterade till denna punkt - 1/3 och 1/4 - har vardera täljaren 1. Om täljaren är något annat än 1, instruerar exponenten dig att utföra två operationer: hitta en rot och höja till en makt. Ta till exempel 8 ^ 2/3. Nämnaren "3" säger att du letar efter en kubrot; täljaren "2" säger att du kommer att höja till andra makten. Det spelar ingen roll vilken operation du utför först. Du får samma resultat åt båda hållen. Så du kan börja med att ta den tredje roten av 8, vilket är 2, och sedan höja den till den andra makten, vilket skulle ge dig 4. Eller så kan du börja med att höja 8 till den andra kraften, vilket motsvarar 64, och sedan ta den tredje roten av det numret, vilket är 4. Samma resultat.

Faktum är att regeln "täljare som makt, nämnare som rot" gäller alla exponenter - även heltalsexponenter och fraktionerade exponenter med en täljare på 1. Till exempel är hela talet 2 ekvivalent med fraktionen 2/1. Så det exponentiella uttrycket 9 ^ 2 är "verkligen" 9 ^ 2/1. Att höja 9 till 2: a makten ger dig 81. Nu måste du få "1: a roten" av 81. Men den första roten till valfritt tal är själva numret, så svaret förblir 81. Titta nu på uttrycket 9 ^ 1/2. Du kan börja med att höja 9 till "1: a makten." Men varje nummer som höjs till första kraften är själva numret. Så allt du behöver göra är att få kvadratroten på 9, vilket är 3. Regeln gäller fortfarande, men i dessa situationer kan du hoppa över ett steg.