Du kan inte lösa en ekvation som innehåller en bråkdel med en irrationell nämnare, vilket innebär att nämnaren innehåller en term med ett radikalt tecken. Detta inkluderar fyrkant, kub och högre rötter. Att bli av med det radikala tecknet kallas rationalisering av nämnaren. När nämnaren har en term kan du göra detta genom att multiplicera de övre och nedre termerna med radikalen. När nämnaren har två termer är förfarandet lite mer komplicerat. Du multiplicerar topp och botten med nämnarens konjugat och expanderar och helt enkelt täljaren.
TL; DR (för lång; Läste inte)
För att rationalisera en bråk måste du multiplicera täljaren och nämnaren med ett tal eller uttryck som blir av med de radikala tecknen i nämnaren.
Rationalisering av en bråkdel med en term i nämnaren
En bråkdel med kvadratroten av en enda term i nämnaren är den enklaste att rationalisera. I allmänhet tar fraktionen formena / √x. Du rationaliserar det genom att multiplicera täljaren och nämnaren med √x.
\ frac {\ sqrt {x}} {\ sqrt {x}} × \ frac {a} {\ sqrt {x}} = \ frac {a \ sqrt {x}} {x}
Eftersom allt du har gjort är att multiplicera bråk med 1 har dess värde inte förändrats.
Exempel:
Rationalisera
\ frac {12} {\ sqrt {6}}
Multiplicera täljaren och nämnaren med √6 för att få
\ frac {12 \ sqrt {6}} {6}
Du kan förenkla detta genom att dela 6 i 12 för att få 2, så den förenklade formen av den rationaliserade fraktionen är
2 \ sqrt {6}
Rationalisering av en bråkdel med två termer i nämnaren
Antag att du har en bråkdel i formuläret
\ frac {a + b} {\ sqrt {x} + \ sqrt {y}}
Du kan bli av med det radikala tecknet i nämnaren genom att multiplicera uttrycket med dess konjugat. För en allmän binomial av formuläretx + y, är konjugatetx − y. När du multiplicerar dessa tillsammans får dux2 − y2. Tillämpa denna teknik på den generaliserade fraktionen ovan:
\ frac {a + b} {\ sqrt {x} + \ sqrt {y}} × \ frac {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} \ \ \, \\ (a + b) × \ frac {\ sqrt {x} - \ sqrt {y}} {x - y}
Expandera täljaren för att få
\ frac {a \ sqrt {x} -a \ sqrt {y} + b \ sqrt {x} - b \ sqrt {y}} {x - y}
Detta uttryck blir mindre komplicerat när du ersätter heltal för några eller alla variabler.
Exempel:
Rationalisera nämnaren för fraktionen
\ frac {3} {1 - \ sqrt {y}}
Konjugatet för nämnaren är 1 - (−√y) = 1+ √y. Multiplicera täljaren och nämnaren med detta uttryck och förenkla:
\ frac {3 × (1 + \ sqrt {y})} {1 - y} \\ \, \\ \ frac {3 + 3 \ sqrt {y}} {1 - y}
Rationalisering av kubrötter
När du har en kubrot i nämnaren måste du multiplicera täljaren och nämnaren med kubrot av kvadraten av numret under radikaltecknet för att bli av med radikaltecknet i nämnare. I allmänhet, om du har en bråkdel i formuläreta / 3√x, multiplicera topp och botten med 3√x2.
Exempel:
Rationalisera nämnaren:
\ frac {7} {\ sqrt [3] {x}}
Multiplicera täljaren och nämnaren med 3√x2 att få
\ frac {7 × \ sqrt [3] {x ^ 2}} {\ sqrt [3] {x} × \ sqrt [3] {x ^ 2}} = \ frac {7 × \ sqrt [3] {x ^ 2}} {\ sqrt [3] {x ^ 3}} \\ \, \\ \ frac {7 \ sqrt [3] {x ^ 2}} {x}