Ett irrationellt tal är inte så läskigt som det låter; det är bara ett tal som inte kan uttryckas som en enkel fraktion eller, för att uttrycka det på ett annat sätt, ett irrationellt tal är ett oändligt decimal som fortsätter ett oändligt antal platser förbi decimalpunkt. Du kan utföra de flesta operationer på irrationella siffror precis som du skulle göra med rationella siffror, men när det gäller att ta kvadratrötter måste du lära dig att approximera värdet.
Vad är ett irrationellt nummer?
Så vad är egentligen ett irrationellt tal? Du kanske redan är bekant med två mycket berömda irrationella siffror: π eller "pi", som nästan alltid förkortas till 3.14 men faktiskt fortsätter oändligt till höger om decimalpunkten; och "e", alias Eulers nummer, som vanligtvis förkortas till 2.71828 men fortsätter också oändligt till höger om decimalpunkten.
Men det finns mycket mer irrationella siffror där ute, och här är ett enkelt sätt att upptäcka några av dem: Om numret under ett kvadratrotstecken är inte ett perfekt kvadrat, då är det kvadratrotet ett irrationellt siffra.
Det är en väldigt stor mun, så här är ett exempel för att göra det tydligt. Det hjälper också att komma ihåg att ett perfekt kvadrat är ett tal vars kvadratrot är ett heltal:
Är √8 ett irrationellt tal?Om du har memorerat dina perfekta rutor eller tar dig tid att leta upp dem, vet du det
\ sqrt {4} = 2 \ text {och} \ sqrt {9} = 3
Eftersom √8 är mellan dessa två siffror, men det finns inget heltal mellan 2 och 3 för att vara dess rot, är √8 irrationell.
Tar kvadratroten av ett irrationellt nummer
När det gäller att beräkna kvadratroten av ett irrationellt tal har du två val. Antingen placera det irrationella numret i en miniräknare eller en online-kvadratrotkalkylator (se Resurser), i vilket fall räknaren returnerar ett ungefärligt värde åt dig - eller så kan du använda en fyrstegsprocess för att uppskatta värdet själv.
Exempel 1:Uppskatta värdet på det irrationella talet √8.
Hitta de perfekta rutorna på vardera sidan om √8 på sifferraden. I det här fallet är √4 = 2 och √9 = 3. Välj den som ligger närmast ditt målnummer. Eftersom 8 är mycket närmare 9 än till 4, välj
\ sqrt {9} = 3
Därefter delar du numret vars rot du vill ha - 8 - med din uppskattning. Fortsätter du exemplet har du:
\ frac {8} {3} = 2,67
Hitta nu genomsnittet av resultatet från steg 2 med delaren från steg 2. Här betyder det i genomsnitt 3 och 2,67. Lägg först till de två siffrorna tillsammans och dela sedan med två:
3 + 2.67 = 5.6667
(Detta är faktiskt den upprepande decimalen 5.6666666666, men den har avrundats till fyra decimaler för korthets skull.)
\ frac {5.6667} {2} = 2.83335
Resultatet från steg 3 är fortfarande inte exakt, men det närmar sig. Upprepa steg 2 och 3 efter behov, använd resultatet från steg 3 som den nya delaren i steg 2 varje gång.
För att fortsätta exemplet skulle du dela 8 med resultatet från steg 3 (2.83335), vilket ger dig:
\ frac {8} {2.83335} = 2.8235
(Återigen, avrundning till fyra decimaler för korthetens skull.)
Du skulle sedan genomsnittliga resultatet av din delning med delaren, vilket ger dig:
2.83335 + 2.8235 = 5.65685 \\ \, \\ \ frac {5.65685} {2} = 2.828425
Du kan fortsätta denna process och upprepa steg 2 och 3 efter behov tills svaret är lika exakt som du behöver.
Vad sägs om irrationella fyrkantiga rötter?
Ibland istället för att hitta kvadratroten av ett irrationellt tal, måste du hantera irrationella tal som uttrycks i kvadratrotform - en av de mest kända du lär dig om är √2.
Det finns inte mycket du kan göra med √2, förutom att approximera dess värde som beskrivits ovan. Men om du får ett större irrationellt tal i kvadratrotform kan du ibland använda det
\ sqrt {cd} = \ sqrt {c} × \ sqrt {d}
att skriva om svaret i en enklare form.
Tänk på den irrationella kvadratroten √32. Även om den inte har en huvudrot (det vill säga en icke-negativ, heltalsrot), kan du faktorera det till något med en bekant huvudrot:
\ sqrt {32} = \ sqrt {16} × \ sqrt {2}
Du kan fortfarande inte göra mycket med √2, men √16 = 4, så du kan ta detta ett steg längre och skriva det som
\ sqrt {32} = 4 \ sqrt {2}
Medan du inte har eliminerat det radikala tecknet helt, har du förenklat detta irrationella tal samtidigt som du behåller dess exakta värde.