En polygon är vilken stängd tvådimensionell figur som helst med 3 eller flera raka (inte böjda) sidor, och en 12-sidig polygon är känd som en dodecagon. En vanlig dodecagon är en med lika sidor och vinklar, och det är möjligt att härleda en formel för att beräkna dess area. En oregelbunden dodecagon har sidor av olika längder och olika vinklar. En sexkantig stjärna är ett exempel. Det finns inget enkelt sätt att beräkna ytan för en oregelbunden 12-sidig figur om du inte råkar ha ritat den i en graf och kan läsa koordinaterna för varje hörn. Om inte, är den bästa strategin att dela upp figuren i vanliga former för vilka du kan beräkna området.
Beräkning av ytan för en vanlig 12-sidig polygon
För att beräkna ytan för en vanlig dodecagon måste du hitta dess centrum, och det bästa sättet att göra det är att skriva en cirkel runt den som bara berör var och en av dess hörn. Cirkelns centrum är centrum för dodecagon, och avståndet från figurens centrum till var och en av dess hörn är helt enkelt cirkelns radie (r). Var och en av figurens 12 sidor har samma längd, så beteckna detta meds.
Du behöver ytterligare en mätning, och det är längden på en vinkelrät linje från mittpunkten på varje sida till mitten av den 12-sidiga formen. Denna linje är känd som apotemet. Beteckna dess längd medm. Den delar upp varje sektion som bildas av radie-linjerna i två rätvinkliga trianglar. Du vet intem, men du kan hitta den med Pythagoras sats.
De 12 radie-linjerna delar cirkeln du skrev runt dodecagon i 12 lika delar, så i mitten av figuren är vinkeln som varje linje gör med den bredvid den 30 grader. Var och en av de 12 sektionerna som bildas av radie-linjerna består av ett par rätvinkliga trianglar med hypotenusroch en vinkel på 15 grader. Sidan intill vinkeln ärm, så att du kan hitta den med r och vinkelns sinus.
\ sin (15) = \ frac {m} {r} \, \ text {och lösa för} m \\ m = r × \ sin (15)
Du kan nu hitta området för var och en av de likbeniga trianglarna som är inskrivna i dodecagon, eftersom du vet längden på basen - vilket ärs- och höjden,m. Området för varje triangel är
\ begin {align} \ text {area} & = \ frac {1} {2} × \ text {base} × \ text {höjd} \\ & = \ frac {1} {2} × s × m \\ & = 1/2 × (s × r × \ sin (15)) \ slut {justerad}
Det finns 12 sådana sektioner, så multiplicera med 12 för att hitta den totala ytan för den vanliga 12-sidiga formen:
\ text {Area of regular dodecagon} = 6 × (s × r × \ sin (15))
Hitta området för en oregelbunden Dodecagon
Det finns ingen formel för att hitta området för en oregelbunden dodecagon, eftersom längderna på sidorna och vinklarna inte är desamma. Det är till och med svårt att hitta mitt. Den bästa strategin är att dela upp figuren i vanliga former, beräkna arean för var och en och lägga till dem.
Om formen ritas upp i ett diagram och du känner till koordinaterna för topparna, finns det en formel som du kan använda för att beräkna arean. Om varje punkt (n) definieras av (xn, yn), och du går runt figuren i ordning, antingen medurs eller moturs, för att få en serie på 12 poäng, området är:
\ text {Area} = \ frac {| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) +... + (x_ {11} y_ {12} - y_ {11} x_ {12}) + (x_ {12} y_1 - y_ {12} x_1) |} {2}