Hur man bestämmer en okänd exponent

Om du ser uttrycken 3² och 5³, kan du meddela med en blomstra att dessa betyder "tre kvadrat" och "fem kubad", och kunna gå omkring att hitta motsvarande siffror utan exponenter, siffrorna som representeras av överskrifterna uppe till höger ovan. Dessa siffror är i detta fall 9 och 125.

Men vad händer om, i stället för, säg, en enkel exponentiell funktion som y = x ³måste du istället lösa en ekvation som y = 3^x. Här visas x, den beroende variabeln, som en exponent. Finns det ett sätt att dra variabeln ner från abborren för att lättare hantera den matematiskt?

Faktum är att det finns, och svaret ligger i det naturliga komplementet av exponenter, som är roliga och hjälpsamma kvantiteter som kallas logaritmer.

Ett exponent, även kallad a kraft, är ett komprimerat sätt att uttrycka upprepade multiplikationer av ett tal i sig. 4⁵ = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.

• Varje tal som höjs till kraften 1 håller samma värde; valfritt tal med en exponent på 0 är lika med 1. Till exempel 72¹ = 72; 72⁰ = 1.

Exponenter kan vara negativa och producera relationen x⁻ⁿ= 1 / (xⁿ). De kan också uttryckas som fraktioner, t.ex. 2^(5/3). Om de uttrycks som bråk, måste både täljaren och nämnaren vara heltal.

Logaritmer eller "loggar" kan betraktas som exponenter uttryckta som något annat än en makt. Det hjälper förmodligen inte mycket, så kanske ett exempel eller två kommer att göra det.

I uttrycket 10³ = 1,000, siffran 10 är bas, och den höjs till den tredje makten (eller kraften i tre). Du kan uttrycka detta som, "basen av 10 höjd till den tredje makten är lika med 1000."

Ett exempel på en logaritm är logga₁₀(1,000) = 3. Observera att siffrorna och deras förhållande till varandra är desamma som i föregående exempel, men de har flyttats runt. Med ord betyder detta "loggbasen 10 på 1000 är lika med 3."

Kvantiteten till höger är den kraft som basen på 10 måste höjas till för att vara lika med argument, eller inmatning av loggen, värdet inom parentes (i detta fall 1000). Detta värde måste vara positivt, eftersom basen - som kan vara ett annat tal än 10 men antas vara 10 när det utelämnas, t.ex. "logg 4" - också alltid är positivt.

Så hur kan du arbeta enkelt mellan loggar och exponenter? Några regler om loggarnas beteende kan komma igång med exponentproblem.

Med ovanstående information är du redo att försöka lösa en exponent i en ekvation.

Exempel: Om 50 = 4^x, vad är x?

Om du tar loggen till basen 10 på varje sida och utelämnar explicit identifiering av basen blir detta log 50 = log 4^x. Från rutan ovan vet du att logg 4^x = x logg 4. Detta lämnar dig med

log 50 = x log 4, eller x = (log 50) / (log 4).

Med hjälp av din miniräknare eller elektroniska enhet väljer du att lösningen är (1.689 / 0.602) = 2.82.

Samma regler gäller när basen är e, den så kallade naturlig logaritm, som har ett värde av cirka 2,7183. Du borde också ha en knapp för detta på din miniräknare. Det här värdet får också sin egen notation: logg_ex skrivs helt enkelt "ln x."

• Funktionen y = e^x i, med e inte en variabel utan en konstant med detta värde, är den enda funktionen med en lutning som är lika med sin egen höjd för alla x och y.
  
• Precis som logg₁₀10^x = x, ln e^x = x för alla x.

Exempel: Lös ekvationen 16 = e^2,7x.

Som ovan är ln 16 = ln e^2,7x = 2,7x.

ln 16 = 2,77 = 2,7x, så x = 2/77 / 2,7 = 1.03.