Förmågan att beräkna medelvärdet eller medelvärdet för en grupp av siffror är viktigt i alla aspekter av livet. Om du är professor som tilldelar bokstavsbetyg till examensresultat och traditionellt ger betyg B- till a mitt-i-förpackning poäng, då måste du tydligt veta hur mitten av förpackningen ser ut numeriskt. Du behöver också ett sätt att identifiera poäng som outliers så att du kan avgöra när någon förtjänar ett A eller A + (uppenbarligen för perfekta poäng, uppenbarligen) samt vad som förtjänar ett falskt betyg.
Av detta och relaterade skäl innehåller fullständig data om medelvärden information om hur nära grupperat runt medelpoängen poängen är i allmänhet. Denna information förmedlas med hjälp av standardavvikelse och därmed också variation av ett statistiskt urval.
Mått på variation
Du har nästan säkert hört eller sett termen "genomsnitt" som används med hänvisning till en uppsättning siffror eller datapunkter, och du har förmodligen en uppfattning om vad den översätter till i vardagsspråket. Om du till exempel läser att en amerikansk kvinnas medelhöjd är ungefär 5 '4 ", drar du omedelbart slutsatsen att "genomsnitt" betyder "typiskt", och att ungefär hälften av kvinnorna i USA är högre än detta medan ungefär hälften är det kortare.
Matematiskt, genomsnitt och betyda är exakt samma sak: Du lägger till alla värden i en uppsättning och delar med antalet objekt i uppsättningen. Till exempel, om en grupp med 25 poäng på ett testfråga på 10 frågor sträcker sig från 3 till 10 och lägger till 196, är medelvärdet (medelvärde) 196/25, eller 7,84.
Medianen är mittpunktvärdet i en uppsättning, antalet som hälften av värdena ligger över och hälften av värdena ligger under. Det är vanligtvis nära genomsnittet (medelvärdet) men är inte samma sak.
Variansformel
Om du ögonglobar en uppsättning av 25 poäng som de ovan och ser nästan ingenting annat än värdena 7, 8 och 9, är det intuitivt förnuftigt att genomsnittet ska vara runt 8. Men tänk om du ser nästan ingenting annat än poängen 6 och 10? Eller fem poäng på 0 och 20 poäng på 9 eller 10? Alla dessa kan producera samma genomsnitt.
Varians är ett mått på hur mycket punkterna i en datamängd sprids kring medelvärdet. För att beräkna varians för hand tar du den aritmetiska skillnaden mellan var och en av datapunkterna och genomsnittet, kvadrera dem, lägg till summan av rutorna och dela resultatet med en mindre än antalet datapunkter i prov. Ett exempel på detta ges senare. Du kan också använda program som Excel eller webbplatser som Rapid Tables (se Resurser för ytterligare webbplatser).
Variansen betecknas med σ2, en grekisk "sigma" med en exponent av 2.
Standardavvikelse
De standardavvikelse av ett prov är helt enkelt kvadratroten av variansen. Anledningen till att kvadrater används vid beräkning av varians är att om du bara lägger ihop de individuella skillnaderna mellan genomsnittet och varje enskild datapunkt är summan alltid noll eftersom vissa av dessa skillnader är positiva och vissa är negativa och de avbryter varandra ut. Att kvadrera varje term eliminerar denna fallgrop.
Exempel på variation och standardavvikelse
Antag att du får de 10 datapunkterna:
4, 7, 10, 5, 7, 6, 9, 8, 5, 9
Hitta genomsnittet, variansen och standardavvikelsen.
Lägg först till de 10 värdena och dela med 10 för att få genomsnittet (medelvärdet):
70/10 = 7.0
För att få variansen kvadrerar du skillnaden mellan varje datapunkt och genomsnittet, lägger till dessa och delar resultatet med (10 - 1) eller 9:
- 7 - 4 = 3; 32 = 9
- 7 - 7 = 0; 02 = 0
- 7 - 10 = -3; (-3)2 = 9.. .
9 + 0 + 9 +... + 4 = 36
σ2= 36/9 = 4.0
Standardavvikelsen σ är bara kvadratroten på 4.0 eller 2.0.