Med Super Bowl precis runt hörnet har idrottare och fans i världen sitt fokus fast på det stora spelet. Men för _math_letes kan det stora spelet komma att tänka på ett litet problem relaterat till de möjliga poängen i ett fotbollsspel. Med endast begränsade alternativ för hur många poäng du kan få, går det inte att nå några totala, men vad är det högsta? Om du vill veta vad som länkar mynt, fotboll och McDonald's kycklingklumpar är detta ett problem för dig.
Super Bowl Math Math
Problemet innefattar de möjliga poängen som antingen Los Angeles Rams eller New England Patriots möjligen kunde uppnå på söndag utan en säkerhet eller en tvåpunktsomvandling. Med andra ord är de tillåtna sätten att öka sina poäng 3-punkts fältmål och 7-punkts touchdowns. Så utan säkerhet kan du inte uppnå två poäng i ett spel med någon kombination av 3 och 7. På samma sätt kan du inte heller uppnå 4 poäng, och inte heller kan du få 5.
Frågan är: Vad är den högsta poängen det kan inte uppnås med endast 3-punkts fältmål och 7-punkts touchdowns?
Naturligtvis är touchdowns utan en konvertering värt 6, men eftersom du ändå kan nå det med två fältmål spelar det ingen roll för problemet. Eftersom vi har att göra med matte här behöver du inte oroa dig för det specifika lagets taktik eller ens några begränsningar för deras förmåga att få poäng.
Försök att lösa detta själv innan du går vidare!
Hitta en lösning (den långsamma vägen)
Detta problem har några komplexa matematiska lösningar (se Resurser för fullständiga detaljer, men huvudresultatet presenteras nedan), men det är ett bra exempel på hur detta inte är behövs för att hitta svaret.
Allt du behöver göra för att hitta en brute-force-lösning är att helt enkelt prova var och en av poängen i tur och ordning. Så vi vet att du inte kan göra 1 eller 2 eftersom de är mindre än 3. Vi har redan konstaterat att 4 och 5 inte är möjliga, men 6 är med två fältmål. Kan du göra 7 efter 7 (vilket är möjligt)? Nej. Tre fältmål ger 9, och ett fältmål och en konverterad touchdown gör 10. Men du kan inte få 11.
Från och med nu visar lite arbete att:
\ börja {justerad} 3 × 4 & = 12 \\ 7 + (3 × 2) & = 13 \\ 7 × 2 & = 14 \\ 3 × 5 & = 15 \\ 7 + (3 × 3) & = 16 \\ (7 × 2) + 3 & = 17 \ slut {justerad}
Och faktiskt kan du fortsätta så här så länge du vill. Svaret verkar vara 11. Men är det?
Den algebraiska lösningen
Matematiker kallar dessa problem "Frobenius myntproblem." Den ursprungliga formen relaterade till mynt, till exempel: Om du bara hade mynt värderade 4 cent och 11 cent (inte riktiga mynt, men igen, det är matematiska problem för dig), vad är den största summan du inte kunde producera.
Lösningen, i termer av algebra, är den med ett värde värt sid poäng och en poäng värt q poäng, den högsta poängen du inte kan få (N) ges av:
N = pq \; - \; (p + q)
Så att koppla in värdena från Super Bowl-problemet ger:
\ begin {aligned} N & = 3 × 7 \; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10 \\ & = 11 \ slut {justerad}
Vilket är svaret vi fick långsamt. Så vad händer om du bara kunde göra touchdowns utan konvertering (6 poäng) och touchdowns med enpunktsomvandlingar (7 poäng)? Se om du kan använda formeln för att räkna ut den innan du läser vidare.
I detta fall blir formeln:
\ begin {align} N & = 6 × 7 \; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13 \\ & = 29 \ slut {justerad}
Chicken McNugget-problemet
Så spelet är över och du vill belöna det vinnande laget med en resa till McDonald's. Men de säljer bara McNuggets i lådor med 9 eller 20. Så vad är det högsta antalet nuggets dig kan inte köpa med dessa (föråldrade) lådnummer? Försök använda formeln för att hitta svaret innan du läser vidare.
Eftersom
N = pq \; - \; (p + q)
Och med sid = 9 och q = 20:
\ begin {align} N & = 9 × 20 \; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29 \\ & = 151 \ slut {justerad}
Så förutsatt att du köpte mer än 151 nuggets - det vinnande laget kommer förmodligen att vara ganska hungrigt - trots allt kan du köpa valfritt antal nuggets du vill ha med någon lådkombination.
Du kanske undrar varför vi bara har täckt två nummerversioner av detta problem. Vad händer om vi införlivat säkerhetsskåp, eller om McDonalds sålde tre storlekar av klumpboxar? Det finns ingen tydlig formel i det här fallet, och även om de flesta versioner av det kan lösas, är vissa aspekter av frågan helt olösta.
Så kanske när du tittar på spelet eller äter bitbit kyckling kan du hävda att du försöker lösa ett öppet problem i matematik - det är värt ett försök att komma ur sysslorna!
