Tänk dig att du bemannar en kanon och syftar till att krossa ett fiendens slott så att din armé kan storma in och hämta seger. Om du vet hur snabbt bollen rör sig när den lämnar kanonen, och du vet hur långt bort väggarna är, vilken skjutvinkel behöver du skjuta kanonen mot för att framgångsrikt träffa väggarna?
Detta är ett exempel på ett projektilrörelsesproblem, och du kan lösa detta och många liknande problem med hjälp av kinematikens konstanta accelerationsekvationer och en del grundläggande algebra.
Kaströrelseär hur fysiker beskriver tvådimensionell rörelse där den enda accelerationen objektet i fråga upplever är den konstanta nedåtgående accelerationen på grund av tyngdkraften.
På jordytan, den konstanta accelerationenaär lika medg= 9,8 m / s2och ett objekt som genomgår projektilrörelse är ifritt fallmed detta som den enda källan till acceleration. I de flesta fall tar det vägen för en parabel, så rörelsen kommer att ha både en horisontell och vertikal komponent. Även om det skulle ha en (begränsad) effekt i verkliga livet, tack och lov ignorerar de flesta gymnasieprojektprojektets rörelseproblem effekten av luftmotstånd.
Du kan lösa projektilrörelseproblem med värdet pågoch lite annan grundläggande information om situationen, till exempel projektilens inledande hastighet och den riktning den rör sig i. Att lära sig att lösa dessa problem är viktigt för att klara de flesta inledande fysikklasser, och det introducerar dig till de viktigaste begreppen och teknikerna du behöver i senare kurser.
Projektilrörelsesekvationer
Ekvationerna för projektilrörelser är de konstanta accelerationsekvationerna från kinematik, eftersom tyngdaccelerationen är den enda accelerationskällan som du behöver tänka på. De fyra huvudekvationerna du behöver för att lösa eventuella problem med projektilrörelser är:
v = v_0 + vid \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} vid ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2as
Här,vstår för hastighet,v0 är initialhastigheten,aär acceleration (vilket är lika med accelerationen nedåtgi alla projektilrörelseproblem),sär förskjutningen (från utgångsläget) och som alltid har du tid,t.
Dessa ekvationer är tekniskt endast för en dimension, och egentligen kan de representeras av vektormängder (inklusive hastighetv, ursprungliga hastighetenv0 och så vidare), men i praktiken kan du bara använda dessa versioner separat, en gång ix-riktning och en gång iy-direction (och om du någonsin haft ett tredimensionellt problem, iz-riktning också).
Det är viktigt att komma ihåg att dessa äranvänds endast för konstant acceleration, vilket gör dem perfekta för att beskriva situationer där gravitationens inflytande är det enda acceleration, men olämpligt för många verkliga situationer där ytterligare krafter måste vara anses vara.
För grundläggande situationer är detta allt du behöver för att beskriva ett objekts rörelse, men om det behövs kan du införliva andra faktorer, såsom höjden från vilken projektilen lanserades eller till och med lösa dem för den högsta punkten i projektilen på dess väg.
Lösa problem med projektilrörelser
Nu när du har sett de fyra versionerna av projektilrörelseformeln som du måste använda för lösa problem kan du börja tänka på den strategi du använder för att lösa en projektilrörelse problem.
Den grundläggande metoden är att dela upp problemet i två delar: en för den horisontella rörelsen och en för den vertikala rörelsen. Detta kallas tekniskt den horisontella och den vertikala komponenten, och alla har en motsvarande uppsättning mängder, såsom horisontell hastighet, vertikal hastighet, horisontell förskjutning, vertikal förskjutning och så vidare.
Med detta tillvägagångssätt kan du använda kinematikekvationerna och notera den tidentär densamma för både horisontella och vertikala komponenter, men saker som initialhastigheten kommer att ha olika komponenter för den initiala vertikala hastigheten och den initiala horisontella hastigheten.
Det viktiga att förstå är att för tvådimensionell rörelse,någrarörelsevinkel kan brytas ned i en horisontell och en vertikal komponent, men när om du gör detta kommer det att finnas en horisontell version av ekvationen i fråga och en vertikal version.
Att försumma effekterna av luftmotstånd förenklar massivt problem med rörelser i projektil eftersom den horisontella riktningen aldrig har någon acceleration i ett projektilrörelseproblem (fritt fall), eftersom gravitationens inverkan endast verkar vertikalt (dvs. mot ytan på Jorden).
Detta innebär att den horisontella hastighetskomponenten bara är en konstant hastighet och rörelsen stannar bara när tyngdkraften sänker projektilen ner till marknivån. Detta kan användas för att bestämma flygtiden, eftersom den är helt beroende avy-riktningsrörelse och kan utarbetas helt baserat på den vertikala förskjutningen (dvs. tidentnär den vertikala förskjutningen är noll anger tiden för flygningen).
Trigonometri i projektilproblem
Om problemet i fråga ger dig en startvinkel och en initial hastighet måste du använda trigonometri för att hitta de horisontella och vertikala hastighetskomponenterna. När du har gjort detta kan du använda metoderna som beskrivs i föregående avsnitt för att faktiskt lösa problemet.
I grund och botten skapar du en rätvinklig triangel med hypotenus lutad vid startvinkeln (θ) och hastighetens storlek som längd, och sedan är den intilliggande sidan den horisontella komponenten av hastigheten och den motsatta sidan är den vertikala hastigheten.
Rita den rätvinkliga triangeln enligt anvisningarna så ser du att du hittar de horisontella och vertikala komponenterna med de trigonometriska identiteterna:
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {intilliggande}} {\ text {hypotenuse}}
\ text {sin} \; θ = \ frac {\ text {mittemot}} {\ text {hypotenuse}}
Så dessa kan ordnas om (och med motsatsen =vy och intilliggande =vx, dvs den vertikala hastighetskomponenten respektive de horisontella hastighetskomponenterna, och hypotenus =v0, initialhastigheten) för att ge:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
Detta är all trigonometri du behöver göra för att ta itu med problem med projektilrörelser: ansluta startvinkeln till ekvation, med sinus- och cosinusfunktionerna på din räknare och multiplicerat resultatet med starthastigheten för projektil.
Så för att gå igenom ett exempel på att göra detta, med en initial hastighet på 20 m / s och en startvinkel på 60 grader, är komponenterna:
\ börja {justerad} v_x & = 20 \; \ text {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ text {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ text {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ text {m / s} \ slut {justerad}
Exempel på projektilrörelsesproblem: Exploderande fyrverkeri
Föreställ dig att ett fyrverkeri har en säkring utformad så att den exploderar vid den högsta punkten i sin bana, och den lanserades med en inledande hastighet på 60 m / s i en vinkel på 70 grader mot horisontalen.
Hur skulle du räkna ut vilken höjd?hdet exploderar vid? Och vad skulle tiden från lanseringen vara när den exploderar?
Detta är ett av många problem som involverar den maximala höjden på en projektil, och tricket för att lösa dessa är att notera att vid maximal höjd äry-komponenten av hastigheten är 0 m / s för ett ögonblick. Genom att ansluta detta värde förvy och välja det mest lämpliga av de kinematiska ekvationerna kan du enkelt ta itu med detta och liknande problem.
För det första, när man tittar på kinematiska ekvationer, hoppar den här ut (med prenumerationer som läggs till för att visa att vi arbetar i vertikal riktning):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Denna ekvation är perfekt eftersom du redan känner till accelerationen (ay = -g), starthastigheten och startvinkeln (så att du kan räkna ut den vertikala komponentenvy0). Eftersom vi letar efter värdet avsy (dvs. höjdenh) närvy = 0, vi kan ersätta noll för den slutliga vertikala hastighetskomponenten och ordna om försy:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Eftersom det är vettigt att ringa uppåty, och sedan accelerationen på grund av tyngdkraftengriktas nedåt (dvs. i -yriktning) kan vi ändraay för -g. Slutligen ringersy höjdenh, vi kan skriva:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Så det enda du behöver träna för att lösa problemet är den vertikala komponenten i starthastigheten, som du kan göra med den trigonometriska metoden från föregående avsnitt. Så med informationen från frågan (60 m / s och 70 grader till den horisontella lanseringen) ger detta:
\ börja {justerad} v_ {0y} & = 60 \; \ text {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56.38 \; \ text {m / s} \ slut {justerad}
Nu kan du lösa den maximala höjden:
\ börja {align} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56.38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9.8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162.19 \ text {m} \ slut {justerad}
Så fyrverkeriet kommer att explodera ungefär 162 meter från marken.
Fortsätt med exemplet: Flygtid och avstånd
Efter att ha löst grunderna för projektilrörelseproblemet enbart baserat på den vertikala rörelsen kan resten av problemet enkelt lösas. Först och främst kan tiden från lanseringen att säkringen exploderar hittas genom att använda en av de andra konstanta accelerationsekvationerna. Med tanke på alternativen, följande uttryck:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
har tidt, vilket är vad du vill veta; förskjutningen, som du vet för den maximala punkten för flygningen; den initiala vertikala hastigheten; och hastigheten vid tiden för maximal höjd (som vi vet är noll). Så baserat på detta kan ekvationen ordnas om för att ge ett uttryck för flygtiden:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Så infoga värdena och lösa förtger:
\ börja {justerad} t & = \ frac {2 × 162.19 \; \ text {m}} {56.38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5,75 \; \ text {s} \ slut {justerad}
Så fyrverkeriet kommer att explodera 5,75 sekunder efter lanseringen.
Slutligen kan du enkelt bestämma det reste horisontella avståndet baserat på den första ekvationen, som (i horisontell riktning) säger:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Notera dock att det inte finns någon acceleration ix-riktning, detta är helt enkelt:
v_x = v_ {0x}
Det betyder att hastigheten ixriktningen är densamma under fyrverkeriets resa. Givet attv = d/t, vardär det sträcka som har rest, det är lätt att se detd = vt, och så i det här fallet (medsx = d):
s_x = v_ {0x} t
Så du kan byta utv0x med det trigonometriska uttrycket från tidigare, mata in värdena och lös:
\ börja {justerad} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ text {m / s} × \ cos (70) × 5,75 \; \ text {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ slut {justerad}
Så det kommer att färdas cirka 118 m före explosionen.
Ytterligare problem med projektilrörelser: Dud Firework
För ett ytterligare problem att arbeta med, föreställ dig fyrverkeriet från föregående exempel (starthastighet på 60 m / s lanserad vid 70 grader mot horisontalen) misslyckades med att explodera vid toppen av parabolen och landar istället på marken oexploderad. Kan du beräkna den totala flygtiden i det här fallet? Hur långt bort från lanseringsplatsen i horisontell riktning kommer den att landa, eller med andra ord, vad ärräckviddav projektilen?
Detta problem fungerar i princip på samma sätt, där de vertikala komponenterna i hastighet och förskjutning är de viktigaste sakerna du behöver tänka på för att bestämma tidpunkten för flygningen, och därifrån kan du bestämma räckvidd. I stället för att arbeta igenom lösningen i detalj kan du lösa detta själv baserat på föregående exempel.
Det finns formler för intervallet för en projektil, som du kan slå upp eller härleda från de konstanta accelerationsekvationerna, men det är inte verkligen behövs eftersom du redan känner till den maximala höjden på projektilen, och från denna punkt är det bara i fritt fall under effekten av allvar.
Det betyder att du kan bestämma tiden det tar för fyrverkeriet att falla tillbaka till marken och sedan lägga till detta till flygtiden till maximal höjd för att bestämma den totala flygtiden. Från och med då är det samma process att använda konstant hastighet i horisontell riktning tillsammans med flygtiden för att bestämma räckvidden.
Visa att flygtiden är 11,5 sekunder och räckvidden är 236 m och notera att du måste beräkna den vertikala komponenten av hastigheten vid den punkt den träffar marken som en mellanprodukt steg.