När du komprimerar eller förlänger en fjäder - eller något elastiskt material - vet du instinktivt vad som ska gå till hända när du släpper ut kraften du applicerar: Fjädern eller materialet återgår till sitt original längd.
Det är som om det finns en "återställningskraft" på våren som säkerställer att den återgår till sitt naturliga, okomprimerade och oförlängda tillstånd efter att du släppt den stress du applicerar på materialet. Denna intuitiva förståelse - att ett elastiskt material återvänder till sin jämviktsposition efter att någon applicerad kraft har tagits bort - kvantifieras mycket mer exakt avHookes lag.
Hookes lag är uppkallad efter dess skapare, den brittiska fysikern Robert Hooke, som uttalade 1678 att ”förlängningen är proportionell mot tvinga." Lagen beskriver i huvudsak ett linjärt förhållande mellan en fjäders utsträckning och den återställningskraft som den ger upphov till i vår; det tar med andra ord dubbelt så mycket kraft att sträcka eller komprimera en fjäder dubbelt så mycket.
Lagen, även om den är mycket användbar i många elastiska material, som kallas "linjära elastiska" eller "hookeaniska" material, gäller intevarjesituation och är tekniskt en approximation.
Men som många approximationer i fysik är Hookes lag användbar i ideala fjädrar och många elastiska material upp till deras "proportionalitetsgräns." Denyckelkonstanten för proportionalitet i lagen är vårkonstanten, och att lära sig vad detta säger dig, och att lära dig hur man beräknar det, är viktigt för att Hookes lag ska kunna genomföras.
The Hooke's Law Formula
Fjäderkonstanten är en viktig del av Hookes lag, så för att förstå konstanten måste du först veta vad Hookes lag är och vad den säger. De goda nyheterna är att det är en enkel lag som beskriver ett linjärt förhållande och har formen av en grundläggande rak linjeekvation. Formeln för Hookes lag hänför sig specifikt till förändringen i vårens förlängning,x, till återställningskraften,F, genereras i den:
F = −kx
Extraperioden,k, är fjäderkonstanten. Värdet på denna konstant beror på egenskaperna hos den specifika fjädern, och detta kan direkt härledas från fjäderns egenskaper om det behövs. Men i många fall - särskilt i inledande fysikklasser - får du helt enkelt ett värde för vårkonstanten så att du kan fortsätta och lösa problemet. Det är också möjligt att direkt beräkna fjäderkonstanten med Hookes lag, förutsatt att du känner till kraftens utsträckning och storlek.
Introduktion av vårkonstanten,k
"Storleken" på förhållandet mellan förlängningen och fjäderns återställningskraft är inkapslad i värdet på fjäderkonstanten,k. Fjäderkonstanten visar hur mycket kraft som behövs för att komprimera eller förlänga en fjäder (eller en bit elastiskt material) med ett givet avstånd. Om du tänker på vad detta betyder när det gäller enheter eller inspekterar Hookes lagformel, kan du se att fjäderkonstanten har kraftenheter över avstånd, så i SI-enheter, newton / meter.
Värdet på fjäderkonstanten motsvarar egenskaperna hos den specifika fjädern (eller annan typ av elastiskt objekt) som övervägs. En högre fjäderkonstant betyder en styvare fjäder som är svårare att sträcka (för en given förskjutning,xden resulterande kraftenFkommer att vara högre), medan en lösare fjäder som är lättare att sträcka har en lägre fjäderkonstant. Kort sagt, fjäderkonstanten karakteriserar fjäderns elastiska egenskaper.
Elastisk potentiell energi är ett annat viktigt begrepp relaterat till Hookes lag, och det kännetecknar energin lagras på våren när den är utdragen eller komprimerad så att den kan ge en återställningskraft när du släpper slutet. Komprimering eller förlängning av fjädern förvandlar den energi du ger till elastisk potential och när du släppa den, omvandlas energin till kinetisk energi när fjädern återgår till sin jämviktsposition.
Riktning i Hookes lag
Du har utan tvekan märkt minustecknet i Hookes lag. Som alltid är valet av "positiv" riktning i slutändan godtycklig (du kan ställa in axlarna så att de går i vilken riktning du än och fysiken fungerar på exakt samma sätt), men i det här fallet är det negativa tecknet en påminnelse om att kraften är en återställande tvinga. ”Återställningskraft” betyder att kraftens verkan är att återföra fjädern till dess jämviktsposition.
Om du kallar jämviktspositionen för fjäderns ände (dvs. dess "naturliga" läge utan några krafter)x= 0, då kommer fjädern att förlängas till en positivx, och kraften kommer att verka i negativ riktning (dvs tillbaka motx= 0). Å andra sidan motsvarar komprimering ett negativt värde förx, och sedan verkar kraften i positiv riktning, igen motx= 0. Oavsett fjäderns förskjutningsriktning, beskriver det negativa tecknet den kraft som rör den tillbaka i motsatt riktning.
Naturligtvis behöver våren inte röra sig ixriktning (du kan lika gärna skriva Hookes lag medyellerzi stället), men i de flesta fall finns lagproblem i en dimension, och detta kallasxför bekvämlighet.
Elastisk potentiell energiekvation
Begreppet elastisk potentialenergi, introducerat vid sidan av vårkonstanten tidigare i artikeln, är mycket användbart om du vill lära dig att beräknakanvänder andra data. Ekvationen för elastisk potentialenergi relaterar till förskjutningen,xoch vårkonstanten,k, till den elastiska potentialenPEel, och den tar samma grundform som ekvationen för kinetisk energi:
PE_ {el} = \ frac {1} {2} kx ^ 2
Som en form av energi är enheterna av elastisk potentiell energi joule (J).
Den elastiska potentialenergin är lika med det utförda arbetet (ignorerar förluster till värme eller annat slöseri), och du kan beräkna det enkelt baserat på avståndet fjädern har sträckts om du vet fjäderkonstanten för vår. På samma sätt kan du ordna om denna ekvation för att hitta fjäderkonstanten om du känner till det utförda arbetet (sedanW = PEel) vid sträckning av våren och hur mycket våren förlängdes.
Hur man beräknar vårkonstanten
Det finns två enkla tillvägagångssätt som du kan använda för att beräkna fjäderkonstanten, med antingen Hookes lag, tillsammans med vissa data om styrkan hos återställningskraften (eller den applicerade) kraften och förskjutning av fjädern från dess jämviktsposition eller användning av den elastiska potentialenergiekvationen tillsammans med figurer för det arbete som utförts för att förlänga fjädern och förskjutningen av vår.
Att använda Hookes lag är det enklaste sättet att hitta värdet på fjäderkonstanten, och du kan till och med skaffa data själv genom en enkel inställning där du hänger en känd massa (med dess kraft getts avF = mg) från en fjäder och registrera fjäderns förlängning. Ignorera minustecknet i Hookes lag (eftersom riktningen inte spelar någon roll för att beräkna fjäderkonstantens värde) och dividera med förskjutningen,x, ger:
k = \ frac {F} {x}
Att använda den elastiska potentiella energiformeln är en lika enkel process, men den lämpar sig inte lika bra för ett enkelt experiment. Men om du känner till den elastiska potentialenergin och förskjutningen kan du beräkna den med:
k = \ frac {2PE_ {el}} {x ^ 2}
I vilket fall som helst får du ett värde med enheterna N / m.
Beräkning av fjäderkonstanten: grundläggande exempelproblem
En fjäder med en vikt på 6 N sträcker sig med 30 cm i förhållande till dess jämviktsposition. Vad är vårkonstantenkför våren?
Att hantera detta problem är enkelt förutsatt att du tänker på informationen du har fått och omvandlar förskjutningen till meter innan du beräknar. 6 N-vikten är ett tal i newton, så omedelbart borde du veta att det är en kraft, och det avstånd fjädern sträcker sig från dess jämviktsposition är förskjutningen,x. Så frågan säger dig detF= 6 N ochx= 0,3 m, vilket innebär att du kan beräkna fjäderkonstanten enligt följande:
\ börja {justerad} k & = \ frac {F} {x} \\ & = \ frac {6 \; \ text {N}} {0.3 \; \ text {m}} \\ & = 20 \; \ text {N / m} \ end {align}
För ett annat exempel, tänk dig att du vet att 50 J elastisk potentialenergi hålls i en fjäder som har komprimerats 0,5 m från dess jämviktsposition. Vad är fjäderkonstanten i det här fallet? Återigen är metoden att identifiera den information du har och infoga värdena i ekvationen. Här kan du se detPEel = 50 J ochx= 0,5 m. Så den omarrangerade elastiska potentialenergiekvationen ger:
\ börja {align} k & = \ frac {2PE_ {el}} {x ^ 2} \\ & = \ frac {2 × 50 \; \ text {J}} {(0,5 \; \ text {m}) ^ 2} \\ & = \ frac {100 \; \ text {J}} {0,25 \; \ text {m} ^ 2} \\ & = 400 \; \ text {N / m} \ slut {justerad}
Vårkonstanten: Problem med bilfjädring
En bil på 1800 kg har ett upphängningssystem som inte får överstiga 0,1 m kompression. Vilken fjäderkonstant behöver upphängningen ha?
Detta problem kan se annorlunda ut än de tidigare exemplen, men i slutändan beräknar vi fjäderkonstanten,k, är exakt densamma. Det enda ytterligare steget är att översätta massan av bilen till envikt(dvs. kraften på grund av tyngdkraften som verkar på massan) på varje hjul. Du vet att kraften på grund av bilens vikt ges avF = mg, varg= 9,81 m / s2, accelerationen på grund av gravitationen på jorden, så att du kan justera Hookes lagformel enligt följande:
\ begin {align} k & = \ frac {F} {x} \\ & = \ frac {mg} {x} \ end {align}
Men bara en fjärdedel av bilens totala massa vilar på vilket hjul som helst, så massan per fjäder är 1800 kg / 4 = 450 kg.
Nu måste du helt enkelt mata in de kända värdena och lösa för att hitta styrkan hos fjädrarna som behövs, och notera att den maximala kompressionen, 0,1 m är värdet förxmåste du använda:
\ börja {justerad} k & = \ frac {450 \; \ text {kg} × 9,81 \; \ text {m / s} ^ 2} {0,1 \; \ text {m}} \\ & = 44,145 \; \ text {N / m} \ end {align}
Detta kan också uttryckas som 44,145 kN / m, där kN betyder "kilonewton" eller "tusentals newton."
Begränsningarna av Hookes lag
Det är viktigt att betona igen som Hookes lag inte gällervarjeoch för att använda den effektivt måste du komma ihåg lagens begränsningar. Vårkonstanten,k, är gradienten för den raka linjendeli diagrammet förFmot.x; med andra ord, kraft applicerad vs. förskjutning från jämviktspositionen.
Men efter "proportionalitetsgränsen" för det aktuella materialet är förhållandet inte längre en rak linje, och Hookes lag upphör att gälla. På samma sätt, när ett material når sin "elastiska gräns", svarar det inte som en fjäder och kommer istället att deformeras permanent.
Slutligen antar Hookes lag en "idealisk vår". En del av denna definition är att fjäderns svar är linjärt, men det antas också vara masslöst och friktionsfritt.
De två sista begränsningarna är helt orealistiska, men de hjälper dig att undvika komplikationer till följd av tyngdkraften som verkar på själva fjädern och energiförlust till friktion. Det betyder att Hookes lag alltid kommer att vara ungefärlig snarare än exakt - även inom proportionalitetsgränsen - men avvikelserna orsakar vanligtvis inget problem om du inte behöver mycket exakta svar.