Avektorär en kvantitet som har både storlek och riktning associerad med sig. Detta är annorlunda än enskalärkvantitet, som bara motsvarar en storlek. Hastighet är ett exempel på en vektormängd. Den har både en storlek (hur snabbt något går) och en riktning (den riktning den rör sig.)
Vektorer ritas ofta som pilar. Pilens längd motsvarar vektorn, och pilens punkt anger riktningen.
Det finns två sätt att arbeta med vektortillägg och subtraktion. Den första är grafiskt genom att manipulera pildiagrammen för själva vektorerna. Den andra är matematiskt, vilket ger exakta resultat.
Grafisk vektortillägg och subtraktion i en dimension
När du lägger till två vektorer placerar du svansen på den andra vektorn på spetsen på den första vektorn samtidigt som du behåller vektororienteringen. Deresulterande vektorär en vektor som börjar vid svansen på den första vektorn och pekar i en rak linje mot spetsen på den andra vektorn.
Överväg till exempel att lägga till vektorerAochBsom pekar i samma riktning längs en linje. Vi placerar dem "tip to tail" och den resulterande vektorn,
C, pekar i samma riktning och har en längd som är summan av längderna påAochB.Att subtrahera vektorer i en dimension är i princip samma som att lägga till förutom att du "vänder" den andra vektorn. Detta beror direkt på det faktum att subtraktion är samma som att lägga till ett negativt.
Matematisk vektortillägg och subtraktion i en dimension
När du arbetar i en dimension kan riktningen på en vektor anges med tecken. Vi väljer en riktning för att vara den positiva riktningen (vanligtvis väljs "upp" eller "rätt" som positiv) och tilldelar vilken vektor som helst som pekar i den riktningen som en positiv kvantitet. Varje vektor som pekar i negativ riktning är en negativ kvantitet. När du adderar eller subtraherar vektorer, lägg till eller subtrahera storleken med lämpliga tecken.
Antag att i föregående avsnitt, vektorAhade en storlek på 3 och vektorBhade en styrka av 5. Därefter resulterande vektorC = A + B =8, en vektor med magnitud 8 som pekar i positiv riktning och resulterande vektorD = A - B =-2, en vektor med magnitud 2 som pekar i negativ riktning. Observera att detta överensstämmer med de grafiska resultaten från tidigare.
Tips: Var noga med att bara lägga till vektorer av samma typ: hastighet + hastighet, kraft + kraft och så vidare. Som med all matematik i fysik måste enheterna matcha!
Grafisk vektortillägg och subtraktion i två dimensioner
Om den första vektorn och den andra vektorn inte är längs samma linje i det kartesiska utrymmet kan du använda samma "tip to tail" -metod för att lägga till eller subtrahera dem. För att lägga till två vektorer, föreställ dig helt enkelt att lyfta den andra och placera svansen på spetsen på den första medan du bibehåller sin orientering som visas. Den resulterande vektorn är en pil som börjar vid den första vektorn och slutar vid den andra vektorn:
Precis som i en dimension är det att vända och lägga till att subtrahera en vektor från en annan. Grafiskt ser det ut så här:
•••Dana Chen | Sciencing
Obs! Ibland visas vektortillägg grafiskt genom att sätta ihop svansarna på de två tilläggsvektorerna och skapa ett parallellogram. Den resulterande vektorn är sedan diagonalen för detta parallellogram.
Matematisk vektortillägg och subtraktion i två dimensioner
Följ dessa steg för att addera och subtrahera vektorer i två dimensioner:
Sönderdela varje vektor i enx-komponent, ibland kallad den horisontella komponenten, och eny-komponent, ibland kallad vertikal komponent, med hjälp av trigonometri. (Observera att komponenter kan vara antingen negativa eller positiva beroende på vilken riktning vektorn pekar)
Lägg tillx-komponenter av båda vektorerna tillsammans och lägg sedan tilly-komponenter av båda vektorerna tillsammans. Detta resultat ger digxochykomponenter i den resulterande vektorn.
Storleken på den resulterande vektorn kan hittas med användning av Pythagoras sats.
Riktningen för den resulterande vektorn kan hittas via trigonometri med den inversa tangentfunktionen. Denna riktning ges vanligtvis som en vinkel med avseende på det positivax-axel.
Trigonometri i vektortillägg
Kom ihåg förhållandena mellan sidorna och vinklarna i en rätt triangel från trigonometri.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ text {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ text {} \\ \ tan (\ theta) = \ frac {b} {a}
Pythagoras sats:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Projektilrörelse ger klassiska exempel på hur vi kan använda dessa förhållanden för att både sönderdela en vektor och bestämma den slutliga storleken och riktningen för en vektor.
Tänk på två personer som spelar fångst. Antag att du får höra att bollen kastas från en höjd av 1,3 m med en hastighet på 16 m / s i en vinkel på 50 grader med det horisontella. För att kunna börja analysera detta problem måste du bryta ner denna inledande hastighetsvektor ixochykomponenter som visas:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ gånger \ cos (50) = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ gånger \ sin (50) = 12,3 \ text {m / s}
Om fångaren missar bollen och den träffar marken, med vilken sluthastighet kommer den att slå?
Med kinematiska ekvationer kan vi bestämma att de slutliga komponenterna i bollens hastighet är:
v_ {xf} = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13.3 \ text {m / s}
Pythagoras sats låter oss hitta storleken:
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ text {m / s}
Och trigonometri gör att vi kan bestämma vinkeln:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {-13.3} {10.3} \ Big) = - 52.2 \ grader
Exempel på vektortillägg och subtraktion
Tänk på en bil som avrundar ett hörn. Antaviför bilen är ix-riktning med magnitud 10 m / s, ochvfär i 45 graders vinkel med det positivax-axel med magnitud 10 m / s. Om denna rörelseförändring inträffar på tre sekunder, vad är storleken och riktningen på bilens acceleration när den svänger?
Kom ihåg den accelerationenaär en vektormängd definierad som:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Varvfochviär sluthastigheter respektive initialhastigheter (och därmed också vektormängder).
För att beräkna vektordifferensenvf - vi,vi måste först sönderdela de initiala och slutliga hastighetsvektorerna:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7.07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7.07 \ text {m / s}
Sedan subtraherar vi finalenxochykomponenter från börjanxochykomponenter för att få komponenter avvf - vi:
Sedan subtraherar vixochykomponenter:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7,07 \ text {m / s}
Dela sedan varje gång för att få komponenterna i accelerationsvektorn:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2.36 \ text {m / s} ^ 2
Använd Pythagoras sats för att hitta storleken på accelerationsvektorn:
a = \ sqrt {(- 0.977) ^ 2 + (2.36) ^ 2} = 2.55 \ text {m / s} ^ 2
Slutligen, använd trigonometri för att hitta riktningen för accelerationsvektorn:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {2.36} {- 0.977} \ Big) = 113 \ grader