Fysiker jämför tröghetsmomenten för roterande objekt för att avgöra vilka som kommer att vara svårare att påskynda eller sakta ner. Detta gäller situationer i verkligheten som att ta reda på vilka objekt som rullar snabbast i ett lopp.
De faktorer som ändrar ett objekts tröghetsmoment är dess massa, hur massan fördelas - bestämd av dess form och radie - och rotationsaxeln som den snurrar på.
Tröghetsmoment för vanliga föremål
Detta diagram visar tröghetsmomentekvationerna för flera vanliga former som roterar runt olika rotationsaxlar.
Jämföra tröghetsmoment
Här är några exempel på fysikproblem som kräver att tröghetsmoment används för att jämföra olika objekt.
1. Vilket av följande är det enklaste att börja snurra: en 7 kg ihålig sfär med en radie på 0,2 m eller en 10 kg fast sfär med samma radie?
Börja med att hitta tröghetsmomenten för varje objekt. Enligt tabellen är ekvationen för aihålig sfärär:I = 2/3 mr2och ekvationen för asolid sfärärI = 2 / 5mr2.
Ersätter de givna massorna och radierna:
Ihålig sfär: I = 2/3 (7 kg) (0,2 m)2 = 0.19 kgm2
Fast sfär: I = 2/5 (10 kg) (0,2 m)2 = 0.16 kgm2
Tröghetsmomentet ärmindre för den fasta sfären, så blir detlättast att börja snurra.
2. På vilket sätt är det svårast att rotera en penna: ungefär dess längd, runt dess mitt eller ände över änden? Antag att pennan har en längd på 10 cm (0,1 m) och en tvärsnittsradie på 3 mm (0,003 m).
I detta fall spelar inte penna massa någon roll i jämförelsen eftersom den inte förändras.
För att bestämma vilka ekvationer som gäller, ungefär en penns form som en cylinder.
Därefter är de tre nödvändiga tröghetsekvationerna:
Cylinder om dess längd(axeln går igenom det hela, från spetsen till radergummit, så radien till rotationsaxelnärdess tvärsnittsradie):
I = \ frac {1} {2} mr ^ 2 = \ frac {1} {2} m (0,003) ^ 2 = 0,0000045m
Cylinder runt centrum(hålls i mitten, så dess rotationsradie ärhälften av dess längd):
I = \ frac {1} {12} mr ^ 2 = \ frac {1} {12} m (0,05) ^ 2 = 0,0002083m
Cylinder runt änden(hålls av spetsen eller radergummit, så radien till rotationsaxelnärdess längd):
I = \ frac {1} {3} mr ^ 2 = \ frac {1} {3} m (0,1) ^ 2 = 0,003333m
Ju högre ett objekts tröghetsmoment är, desto svårare är det att starta (eller stoppa) dess rotation.Eftersom varje värde multipliceras med sammam, desto större är fraktionsvärdet multiplicerat med r2ju högre tröghetsmomentet kommer att bli. I det här fallet 0,0033333> 0,0002083> 0,0000045, så är detsvårare att rotera en penna i slutetän runt de andra två axlarna.
3. Vilket objekt når först rampens botten om de alla har samma massa och radie och alla släpps uppifrån samtidigt: en ring, en cylinder eller en fast sfär? Ignorera friktion.
Nyckeln till att svara på detta problem är att tillämpa en förståelse förbevarande av energi. Om alla föremål har samma massa och börjar i samma höjd, måste de börja med samma mängdpotentiell gravitationsenergi. Det här ärtotal energide har tillgängliga för att omvandla till kinetisk energi och röra sig nerför rampen.
Eftersom föremålen rullar nerför rampen måste de omvandla sin ursprungliga potentiella energi till bådaroterande och linjära kinetiska energier.
Här är fångsten: ju mer energi från den totala cirkeln tar det objektet tillbörja snurradesto mindre kommer det att finnas tillgängligt förlinjär rörelse. Det betyderju lättare det är att få ett objekt att rulla, desto snabbare kommer det att röra sig linjärt nerför rampen och vinna loppet.
Eftersom alla massor och radier är desamma, avslöjar man helt enkelt att jämföra fraktionerna framför varje tröghetsmomentsekvation:
Massiv sfär: Jag =2/5herr2
Böj runt en axel: Jag = herr2
Massiv cylinder runt dess längd: Jag =1/2herr2
Från minsta till största tröghetsmoment, och därmedförst till sist för att nå botten: sfär, cylinder, ring.
