Maxwell-Boltzmann-distribution: Funktion, härledning och exempel

Att beskriva vad som händer med mycket små partiklar är en utmaning i fysiken. Inte bara är deras storlek svår att arbeta med, men i de flesta dagliga applikationer har du inte att göra med en enda partikel, utan otaliga många av dem interagerar alla med varandra.

Inom ett fast ämne rör sig inte partiklar förbi varandra, utan fastnar ganska mycket på plats. Torrsubstanser kan dock expandera och krympa med temperaturvariationer och ibland till och med genomgå intressanta förändringar i kristallstrukturer i vissa situationer.

I vätskor är partiklarna fria att röra sig förbi varandra. Forskare tenderar dock inte att studera vätskor genom att försöka hålla reda på vad varje enskild molekyl gör. Istället tittar de på större egenskaper hos helheten, såsom viskositet, densitet och tryck.

Precis som med vätskor är partiklarna i en gas också fria att röra sig förbi varandra. I själva verket kan gaser genomgå dramatiska volymförändringar på grund av skillnader i temperatur och tryck.

Återigen är det inte meningsfullt att studera en gas genom att hålla reda på vad varje enskild gasmolekyl gör, inte ens vid termisk jämvikt. Det skulle inte vara genomförbart, speciellt när man tänker på att det finns cirka 10 även i ett tomt dricksglas

Den typ av gas som är lättast att analysera är en idealisk gas. Det är perfekt eftersom det möjliggör vissa förenklingar som gör fysiken mycket lättare att förstå. Många gaser vid standardtemperaturer och tryck fungerar ungefär som ideala gaser, vilket gör studien av dem också användbar.

I en idealgas antas gasmolekylerna själva kollidera i perfekt elastiska kollisioner så att du inte behöver oroa dig för energiförändringsform som ett resultat av sådana kollisioner. Det antas också att molekylerna är mycket långt ifrån varandra, vilket i huvudsak betyder du behöver inte oroa dig för att de slåss mot varandra för rymden och kan behandla dem som poäng partiklar. Ideala gaser är inte heller för heta och inte för kalla, så du behöver inte oroa dig för effekter som jonisering eller kvanteffekter.

Härifrån kan gaspartiklarna behandlas som små punktpartiklar som studsar runt i behållaren. Men även med denna förenkling är det fortfarande inte möjligt att förstå gaser genom att spåra vad varje enskild partikel gör. Det tillåter dock forskare att utveckla matematiska modeller som beskriver sambandet mellan makroskopiska mängder.

Den ideala gaslagen relaterar till tryck, volym och temperatur för en idealgas. TrycketPav en gas är kraften per ytenhet som den utövar på väggarna i den behållare den befinner sig i. SI-enheten för tryck är pascal (Pa) där 1Pa = 1N / m². VolymenVav gasen är den mängd utrymme som den tar upp i SI-enheter på m³. Och temperaturenTav gasen är ett mått på den genomsnittliga kinetiska energin per molekyl, mätt i SI-enheter av Kelvin.

Ekvationen som beskriver den ideala gaslagen kan skrivas enligt följande:

VarNär antal molekyler eller antal partiklar och Boltzmann-konstantenk​ = 1.38064852×10^-23 kgm²/ s²K.

En motsvarande formulering av denna lag är:

Varnär antalet mol och den universella gaskonstantenR= 8,3145 J / molK.

Dessa två uttryck är ekvivalenta. Vilken du väljer att använda beror helt enkelt på om du mäter ditt molekylantal i mol eller i antal molekyler.

• 1 mol = 6,022 × 10²³ molekyler, vilket är Avogadros nummer.

När en gas har approximerats som ideal kan du göra en ytterligare förenkling. Istället för att överväga den exakta fysiken för varje molekyl - vilket skulle vara omöjligt på grund av deras stora antal - behandlas de som om deras rörelser är slumpmässiga. På grund av detta kan statistik användas för att förstå vad som händer.

På 1800-talet utvecklade fysikerna James Clerk Maxwell och Ludwig Boltzmann den kinetiska teorin om gaser baserat på de beskrivna förenklingarna.

Klassiskt kan varje molekyl i en gas ha en kinetisk energi som tillskrivs den av formen:

Inte varje molekyl i gasen har dock samma kinetiska energi eftersom de ständigt kolliderar. Den exakta fördelningen av molekylernas kinetiska energier ges av Maxwell-Boltzmann-fördelningen.

Maxwell-Boltzmann-statistiken beskriver fördelningen av ideala gasmolekyler över olika energitillstånd. Funktionen som beskriver denna fördelning är som följer:

VarAär en normaliseringskonstant,Eär energi,kär Boltzmanns konstanta ochTär temperatur.

Ytterligare antaganden som görs för att erhålla denna funktion är att det på grund av sin punktpartikel-natur inte finns någon gräns för hur många partiklar som kan uppta ett givet tillstånd. Dessutom tar fördelningen av partiklar mellan energitillstånd nödvändigtvis den mest troliga fördelningen (med större partiklar blir oddsen för att gasen inte är nära denna fördelning alltmer små). Och slutligen är alla energitillstånd lika troliga.

Denna statistik fungerar eftersom det är extremt osannolikt att en viss partikel kan hamna med en energi som är betydligt över genomsnittet. Om det gjorde det skulle det lämna mycket färre sätt för resten av den totala energin att distribueras. Det kokar ner till ett talspel - eftersom det finns mycket fler energitillstånd som inte har en partikel långt över genomsnittet, är sannolikheten för att systemet befinner sig i ett sådant tillstånd försvinnande liten.

Men lägre energier än genomsnittet är mer troliga, återigen på grund av hur sannolikheterna spelar ut. Eftersom all rörelse betraktas som slumpmässig och det finns ett större antal sätt en partikel kan hamna i ett lågt energitillstånd, är dessa tillstånd gynnade.

Maxwell-Boltzmann-fördelningen är fördelningen av hastigheterna för ideala gaspartiklar. Denna hastighetsfördelningsfunktion kan härledas från Maxwell-Boltzmann-statistiken och användas för att härleda samband mellan tryck, volym och temperatur.

Fördelningen av hastighetvges med följande formel:

Varmär massan av en molekyl.

Den tillhörande fördelningskurvan, med hastighetsfördelningsfunktionen påy-axeln och molekylhastigheten påx-ax, ser ungefär ut som en asymmetrisk normalkurva med en längre svans till höger. Den har ett toppvärde vid den mest troliga hastighetenv_sidoch en genomsnittlig hastighet som ges av:

Observera också hur den har en lång smal svans. Kurvan ändras något vid olika temperaturer, med den långa svansen "fetare" vid högre temperaturer.

Använd förhållandet:

VarE_intär den inre energin,KE​_{​genomsnitt​} är den genomsnittliga kinetiska energin per molekyl från Maxwell-Boltzmann-fördelningen. Tillsammans med den ideala gaslagen är det möjligt att få ett samband mellan tryck och volym när det gäller molekylär rörelse: