Lagar av pendelrörelse

Pendlar har intressanta egenskaper som fysiker använder för att beskriva andra objekt. Till exempel följer planetbanan ett liknande mönster och att svänga på en gunguppsättning kan kännas som om du befinner dig i en pendel. Dessa egenskaper kommer från en serie lagar som styr pendelns rörelse. Genom att lära dig dessa lagar kan du börja förstå några av de grundläggande principerna för fysik och rörelse i allmänhet.

Pendelns rörelse kan beskrivas med hjälp av

i vilkenθrepresenterar vinkeln mellan strängen och den vertikala linjen längs centrum,trepresenterar tid ochTär perioden, den tid som krävs för att en fullständig cykel av pendelns rörelse ska inträffa (mätt med1 / f), av förslaget till en pendel.

​Enkel harmonisk rörelseeller rörelse som beskriver hur ett objekts hastighet svänger proportionellt mot mängden förskjutning från jämvikt, kan användas för att beskriva ekvationen för en pendel. En pendelns bob-svängning hålls i rörelse av denna kraft som verkar på den när den rör sig fram och tillbaka.

•••Syed Hussain Ather

Lagarna som styr pendelrörelsen ledde till upptäckten av en viktig egenskap. Fysiker bryter upp krafter i en vertikal och en horisontell komponent. I pendelrörelse,tre krafter arbetar direkt på pendeln: massan av bob, gravitation och spänningen i strängen. Massa och gravitation fungerar båda vertikalt nedåt. Eftersom pendeln inte rör sig uppåt eller nedåt, upphäver den vertikala komponenten i strängspänningen massan och tyngdkraften.

Detta visar att massan av en pendel inte har någon betydelse för dess rörelse, men den horisontella strängspänningen gör det. Enkel harmonisk rörelse liknar cirkulär rörelse. Du kan beskriva ett objekt som rör sig i en cirkulär bana som visas i figuren ovan genom att bestämma vinkeln och radien det tar i dess motsvarande cirkelbana. Med hjälp av trigonometrin för den högra triangeln mellan cirkelns centrum, objektets position och förskjutningen i båda riktningarna x och y kan du hitta ekvationerx = rsin (θ)ochy = rcos (θ).​

Den endimensionella ekvationen för ett objekt i enkel harmonisk rörelse ges avx = r cos (ωt).Du kan ersätta ytterligareAförri vilkenAäramplitud, maximal förskjutning från objektets ursprungsläge.

Vinkelhastighetenωmed avseende på tidentför dessa vinklarθges avθ = ωt. Om du ersätter ekvationen som relaterar vinkelhastighet till frekvensf​, ​ω = 2​​πf, kan du föreställa dig denna cirkulära rörelse, då, som en del av en pendel som svänger fram och tillbaka, då är den resulterande enkla harmoniska rörelseekvationen

•••Syed Hussain Ather

Pendlar, som massor på en fjäder, är exempel påenkla harmoniska oscillatorer: Det finns en återställningskraft som ökar beroende på hur förskjuten pendeln är, och deras rörelse kan beskrivas med hjälp avenkel harmonisk oscillatorekvation​

i vilkenθrepresenterar vinkeln mellan strängen och den vertikala linjen längs centrum,trepresenterar tid ochTärperiod, den tid som krävs för att en fullständig cykel av pendelns rörelse ska inträffa (mätt med1 / f), av förslaget till en pendel.

​θ_maxär ett annat sätt att definiera det maximala som vinkeln svänger under pendelns rörelse och är ett annat sätt att definiera pendelns amplitud. Detta steg förklaras nedan under avsnittet "Enkel definition av pendel."

En annan implikation av lagarna i en enkel pendel är att oscillationsperioden med konstant längd är oberoende av objektets storlek, form, massa och material i strängens ände. Detta visas tydligt genom den enkla pendelavledningen och de ekvationer som resulterar.

Du kan bestämma ekvationen för aenkel pendel, definitionen som beror på en enkel harmonisk oscillator, från en serie steg som börjar med rörelseekvationen för en pendel. Eftersom tyngdkraften för en pendel är lika med pendelns rörelse kan du ställa in dem lika med varandra med Newtons andra lag med en pendelmassaM, stränglängdL, vinkelθ,gravitationell accelerationgoch tidsintervallt​.

•••Syed Hussain Ather

Du sätter Newtons andra lag lika med tröghetsmomentetJag = herr²för lite massamoch cirkelrörelsens radie (strängens längd i detta fall)rgånger vinkelaccelerationα​.

1. ​ΣF = Ma: Newtons andra lag säger att nettokraftenΣFpå ett objekt är lika med objektets massa multiplicerat med acceleration.
2. ​Ma = I α: Detta låter dig ställa in kraften för gravitationell acceleration (-Mg sin (θ) L)lika med rotationskraften
   
3. ​-Mg sin (θ) L = I α​: Du kan få riktningen för den vertikala kraften på grund av tyngdkraften (-Mg) genom att beräkna accelerationen somsin (θ) Lomsin (θ) = d / L.för viss horisontell förskjutningdoch vinkelθ​ att redogöra för riktningen.
   
4. ​-Mg sin (θ) L = ML² α: Du ersätter ekvationen för tröghetsmoment för en roterande kropp med stränglängd L som radie.
   
5. ​-Mg sin (θ) L = -ML²​​d²θ / dt: Redogör för vinkelacceleration genom att ersätta det andra derivatet av vinkeln med avseende på tiden förα.Detta steg kräver kalkyl- och differentialekvationer.
   
6. ​d²θ / dt² + (g / L) sinθ = 0: Du kan få detta genom att ordna om båda sidor av ekvationen
   
7. ​d²θ / dt² + (g / L) θ = 0: Du kan approximerasynd (θ)somθför en enkel pendel i mycket små svängningsvinklar
   
8. ​θ (t) = θ_maxcos (t (L / g)²): Rörelseekvationen har den här lösningen. Du kan verifiera det genom att ta det andra derivatet av denna ekvation och arbeta för att få steg 7.

Det finns andra sätt att göra en enkel pendelavledning. Förstå innebörden bakom varje steg för att se hur de är relaterade. Du kan beskriva en enkel pendelrörelse med hjälp av dessa teorier, men du bör också ta hänsyn till andra faktorer som kan påverka enkel pendelteori.

Om du jämför resultatet av denna härledning

till ekvationen av en enkel harmonisk oscillatorby ställer dem lika med varandra, kan du härleda en ekvation för perioden T:

Observera att denna ekvation inte beror på massanMav pendeln, amplitudenθ_maxinte heller i tidt. Det betyder att perioden är oberoende av massa, amplitud och tid, men förlitar sig istället på strängens längd. Det ger dig ett kortfattat sätt att uttrycka pendelrörelser.

Med ekvationen under en period kan du ordna om ekvationen för att erhålla

och ersätt 1 sek förToch9,8 m / s²förgför att uppnåL =0,0025 m. Tänk på att dessa ekvationer av enkel pendelteori antar att strängens längd är friktionsfri och masslös. Att ta hänsyn till dessa faktorer skulle kräva mer komplicerade ekvationer.

Du kan dra tillbaka pendelnθatt låta den svänga fram och tillbaka för att se den svänga precis som en fjäder. För en enkel pendel kan du beskriva den med hjälp av rörelseekvationer för en enkel harmonisk oscillator. Rörelseekvationen fungerar bra för mindre värden för vinkel ochamplitud, den maximala vinkeln, eftersom den enkla pendelmodellen förlitar sig på den approximation somsynd (θ)​ ≈ ​θför lite pendelvinkelθ.Eftersom värdena och amplituderna blir större än cirka 20 grader fungerar inte denna uppskattning lika bra.

Prova själv. En pendel som svänger med en stor initial vinkelθoscillerar inte så regelbundet så att du kan använda en enkel harmonisk oscillator för att beskriva den. Vid en mindre initial vinkelθ, närmar sig pendeln en vanlig, oscillerande rörelse mycket lättare. Eftersom pendelns massa inte påverkar dess rörelse har fysiker visat att alla pendlar har samma svängningsperiod vinklar - vinkeln mellan pendelns centrum vid sin högsta punkt och pendelns centrum vid stoppläge - mindre än 20 grader.

För alla praktiska ändamål för en pendel i rörelse, kommer pendeln så småningom att avta och stoppas på grund av friktion mellan strängen och dess fästa punkt ovan samt på grund av luftmotstånd mellan pendeln och luften runt det.

För praktiska exempel på pendelrörelse beror perioden och hastigheten på vilken typ av material som används som skulle orsaka dessa exempel på friktion och luftmotstånd. Om du utför beräkningar på teoretiskt pendelsvängande beteende utan att ta hänsyn till dessa krafter, kommer det att redogöra för en pendel som svänger oändligt.

Newtons första lag definierar föremålens hastighet som svar på krafter. Lagen säger att om ett objekt rör sig med en viss hastighet och i en rak linje, kommer det att fortsätta att röra sig med den hastigheten och i en rak linje, oändligt, så länge ingen annan kraft verkar på det. Tänk dig att kasta en boll rakt framåt - bollen skulle gå runt jorden om och om igen om luftmotstånd och tyngdkraft inte påverkade den. Denna lag visar att eftersom en pendel rör sig sida vid sida och inte upp och ner har den inga upp- och nedkrafter som verkar på den.

Newtons andra lag används för att bestämma nettokraften på pendeln genom att ställa in gravitationskraften lika med kraften i strängen som drar tillbaka upp på pendeln. Genom att ställa in dessa ekvationer lika med varandra kan du härleda rörelseekvationerna för pendeln.

Newtons tredje lag säger att varje handling har en reaktion av lika kraft. Denna lag fungerar med den första lagen som visar att även om massan och tyngdkraften avlägsnar den vertikala komponenten i strängspänningsvektorn, så tar inget bort den horisontella komponenten. Denna lag visar att de krafter som verkar på en pendel kan avbryta varandra.

Fysiker använder Newtons första, andra och tredje lagar för att bevisa att den horisontella strängspänningen rör pendeln utan hänsyn till massa eller gravitation. Lagarna i en enkel pendel följer idéerna i Newtons tre rörelselagar.