Центар масе: Дефиниција, једначина, како пронаћи (са примерима)

Јесте ли икада видели једну од оних птица-играчака која је у стању да се на кљуну уравнотежи на врху вашег прста без да се преврне, као магијом? Није магија та која птици уопште омогућава равнотежу, већ једноставна физика повезана са центром масе.

Разумевање физике која се налази иза центра масе омогућава вам не само да разумете очување импулса и с тим у вези физике, али такође може да информише о стабилности и динамици у спортовима којима се бавите, као и да вам омогући да извршите неко креативно балансирање дела.

ОбјекатЦентар масе, који се понекад назива и тежиштем, може се сматрати тачком у којој се укупна маса предмета или система може третирати као тачкаста маса. У одређеним ситуацијама спољне силе могу се третирати као да делују на центар масе објекта.

За балансирање птице играчке на врху прста, центар масе је у кљуну. У почетку ово може изгледати погрешно, због чега се чин уравнотежења чини магичним. Заиста, за птицу која седи на грани, центар масе је негде у телу. Али играчка за балансирање птица често има пондерисана крила која се пружају према напријед и напријед, што доводи до другачијег уравнотежења.

Центар масе се може одредити за један предмет - као што је птица балансирка - или се може израчунати за систем од неколико објеката, као што ћете видети у каснијем одељку.

Увек ће постојати једна тачка на крутом телу која је место центра масе тог тела. Положај центра масе објекта зависи од расподеле масе.

Ако је предмет једнолике густине, лакше је одредити његово средиште масе. На пример, у кругу једнолике густине центар масе је центар круга. (Међутим, то не би био случај да је круг на једној страни гушћи од друге).

У ствари, центар масе ће увек бити у геометријском центру објекта када је густина једнолична. (Овај геометријски центар назива сецентроид​.)

Ако густина није једнолична, постоје и други начини за одређивање центра масе. Неке од ових метода укључују употребу рачуна, што је изван делокруга овог чланка. Али један једноставан начин да одредите центар масе крутог предмета је једноставно покушати да га уравнотежите на врху прста. Центар масе биће на тачки уравнотежења.

Друга метода, корисна за равне објекте, је следећа:

• Обуставите облик са једне ивичне тачке заједно са окомитом линијом.
• Нацртајте линију на облику који се поравнава са оловком.
• Обуставите облик са друге ивичне тачке заједно са окомитом линијом.
• Нацртајте линију на облику који се поравнава са новом оловком.
• Две нацртане линије треба да се секу у једној тачки.
• На овој јединственој тачки пресека налази се центар масе.

За неке објекте, међутим, могуће је да тачка равнотеже буде ван граница самог предмета. Замислите прстен, на пример. Тежиште облика прстена је у средишту, где уопште не постоји ниједан део прстена.

Положај центра масе за систем честица може се сматрати њиховим просечним положајем масе.

Иста идеја може се користити као за крути објекат ако замислите да је овај систем честица повезан крутом, безмасном равни. Тада би центар масе био тачка равнотеже тог система.

Да би се математички одредио центар масе система честица, може се користити следећа једноставна формула:

ГдеМ.је укупна маса система,м_ису поједине масе ир_ису њихови вектори положаја.

У једној димензији (за масе распоређене по правој линији) можете их заменитирсаИкс​.

У две димензије можете пронаћиИкс-координисати иг.-координата центра масе одвојено као:

​Пример 1:Наћи координате центра масе следећег система честица: честица масе 0,1 кг налази се на (1, 2), честица масе 0,05 кг налази се на (2, 4) и честица масе 0,075 кг налази се на (2, 1).

​Решење 1:Примените формулу заИкс-координата центра масе на следећи начин:

Затим примените формулу заг.-координата центра масе на следећи начин:

Дакле, место центра масе је (0,079, 2,11).

​Пример 2:Наћи локацију центра масе равномерног троугла равномерне густине чији темена леже у тачкама (0, 0), (1, 0) и (1/2, √3 / 2).

​Решење 2:Треба да пронађете геометријско средиште овог једнакостраничног троугла дужине странице 1. ТхеИкс-координата геометријског центра је директна - једноставно је 1/2.

Тхег.-координата је мало незгоднија. На месту ће се догодити да се линија од врха троугла до тачке (0, 1/2) пресече линијом из било ког другог темена до средине једне од супротних страница. Ако скицирате такав распоред, наћи ћете се са 30-60-90 правоуглим троуглом чија је дугачка нога 0,5, а кратка ногаг.-координисати. Однос између ових страница је √3и = 1/2, дакле и = √3 / 6, а координате центра масе су (1/2, √3 / 6).

Положај центра масе објекта или система предмета може се користити као референтна тачка у многим физичким прорачунима.

На пример, када радите са системом интеракција честица, проналажење центра масе система омогућава разумевање линеарног импулса. Када се сачува линеарни замах, центар масе система ће се кретати константном брзином чак и када се сами објекти одбијају један од другог.

За крут предмет који пада, гравитација се може третирати као да делује на центар масе тог објекта, чак и ако се тај предмет ротира.

Исто важи и за пројектиле. Замислите да бацате чекић и док лети кроз лук у ваздуху, ротира крај преко краја. Ово би у почетку могло изгледати као сложено кретање, али испоставило се да се центар масе чекића креће лепим глатким параболичним путем.

Може се извести једноставан експеримент који то демонстрира лепљењем маленог дела светлеће траке за центар масе чекића, а затим бацањем чекића како је описано у мрачној соби. Чини се да се сјајна трака креће у глатком луку, попут бачене лопте.

Забавни експеримент са центром масе који можете изводити код куће подразумева употребу једноставне технике за проналажење центра масе метле. За овај експеримент вам требају само једна метла и две руке.

Са релативно размакнутим рукама, подигните метлу на крају два показивача. Затим полако приближите руке, гурнувши их испод метле. Док приближавате руке, можете приметити да једна рука жели да клизи дуж доње стране дршке метле, док друга неко време остаје на месту пре него што клизи.

Све време док се ваше руке померају, метла остаје уравнотежена. На крају, кад се ваше две руке сретну, састаће се на месту центра масе метле.

Центар масе људског тела налази се негде близу пупка (пупка). Код мушкараца центар масе има тенденцију да буде мало виши, јер носе више телесне масе у горњем делу тела, а код жена је центар масе нижи јер носе више масе у куковима.

Ако стојите на једној нози, ваш центар масе ће се померити према бочној страни стопала на којој стојите. Можда ћете приметити да се више нагињете тој страни. То је зато што да бисте остали уравнотежени, ваш центар масе треба да остане преко стопала на којем балансирате, иначе ћете се преврнути.

Ако стојите једном ногом и куком уза зид и покушате да подигнете другу ногу, вероватно ћете видети да је то немогуће јер зид спречава да ваша тежина пређе преко ноге за равнотежу.

Још једна ствар коју бисте требали покушати је да стојите леђима окренута зиду, а пете додирују зид. Затим покушајте да се савијете напред и додирнете под без савијања ногу. Жене могу бити успешније у овом задатку од мушкараца, јер им је центар масе ниже у телу и на крају могу да буду и даље преко ножних прстију док се нагињу напред.

Положај центра масе у односу на основу објекта одређује његову стабилност. Нешто се сматра стабилно уравнотеженим ако се, лагано нагнувши и пустивши, врати натраг у првобитни положај, уместо да се даље преврне и падне.

Размотрите тродимензионални облик пирамиде. Ако је уравнотежен на својој основи, стабилан је. Ако лагано подигнете један крај и пустите га да падне, поново пада. Али ако покушате да уравнотежите пирамиду на њеном врху, онда ће свако одступање од савршене равнотеже довести до њеног пада.

Можете да утврдите да ли ће се неки предмет вратити у првобитни положај или ће се преврнути гледајући локацију центра масе у односу на базу. Једном када се центар масе помери поред базе, предмет ће се преврнути.

Ако се бавите спортом, можда вам је познат положај спремности за стојање са широким ставом и савијених колена. Ово одржава центар масе ниским, а широка база чини вас стабилнијим. Размислите колико тешко би неко морао да вас гурне да вас преврне ако сте у позицији спреман вс. када стојите усправно склопљених ногу.

Неки аутомобили имају проблема са превртањем када нагло скрећу. То је због локације њиховог центра масе. Ако је центар масе возила превисок, а основа није довољно широка, тада неће бити потребно много да се преврне. Увек је најбоље за стабилност возила да већи део тежине буде што нижи.