„Сине“ је математички стенограф за однос двеју страница правоуглог троугла, изражен као разломак: Страна насупрот било који угао који мерите је бројилац разломка, а хипотенуза правоуглог троугла је називник. Једном када савладате овај концепт, он постаје градивни елемент за формулу познату као закон синуса, који се може користити за проналажење недостају углови и странице троугла све док познајете најмање два његова угла и једну страницу или две странице и један угао.
Осврћући се на закон синуса
Закон синуса каже вам да ће однос угла у троуглу и странице насупрот њему бити једнак за сва три угла троугла. Или, другачије речено:
грех (А) /а = грех (Б) /б = грех (Ц) /ц, где су А, Б и Ц углови троугла, и а, б и ц су дужине страница насупрот тим угловима.
Овај образац је најкориснији за проналажење углова који недостају. Ако користите закон синуса да бисте пронашли дужину странице троугла која недостаје, можете је записати и са синусима у називнику:
а/ грех (А) = б/ грех (Б) = ц/sin(C)
Проналажење угла који недостаје помоћу закона синуса
Замислите да имате троугао са једним познатим углом - рецимо да угао А мери 30 степени. Знате и меру двеју страница троугла: страница а, који је супротан углу А, мери 4 јединице и бок б мере 6 јединица.
Пазите се двосмисленог случаја закона синуса, који може настати ако вам је, као у овом проблему, дана дужина две странице и угао који није између њих. Двосмислени случај је једноставно упозорење да у овом специфичном низу околности могу постојати два могућа одговора. Већ сте пронашли један могући одговор. Да бисте рашчланили још један могући одговор, одузмите угао који сте управо пронашли од 180 степени. Додајте резултат првом познатом углу који сте имали. Ако је резултат мањи од 180 степени, тај „резултат“ који сте управо додали првом познатом углу је друго могуће решење.
Унесите све познате информације у први облик закона синуса, који је најбољи за проналажење углова који недостају:
грех (30) / 4 = грех (Б) / 6 = грех (Ц) /ц
Затим одаберите циљ; у овом случају пронађите меру угла Б.
Постављање проблема је једноставно као постављање првог и другог израза ове једначине једнаких једна другој. Тренутно не треба да бринете о трећем мандату. Тако да имате:
грех (30) / 4 = грех (Б) / 6
Користите калкулатор или графикон да бисте пронашли синус познатог угла. У овом случају грех (30) = 0,5, тако да имате:
(0,5) / 4 = син (Б) / 6, што поједностављује на:
0,125 = грех (Б) / 6
Помножите сваку страну једначине са 6 да бисте изоловали мерење синуса непознатог угла. Ово вам даје:
0,75 = грех (Б)
Помоћу калкулатора или табеле пронађите инверзни синус или аркусин непознатог угла. У овом случају, инверзни синус од 0,75 је приближно 48,6 степени.
Упозорења
Проналажење стране закону синуса
Замислите да имате троугао са познатим угловима од 15 и 30 степени (назовимо их А и Б респективно) и дужином странице а, који је супротан углу А, дугачак је 3 јединице.
Као што је претходно поменуто, три угла троугла увек се износе до 180 степени. Дакле, ако већ знате два угла, меру трећег угла можете пронаћи одузимањем познатих углова од 180:
180 - 15 - 30 = 135 степени
Дакле, угао који недостаје је 135 степени.
Информације које већ знате попуните у формулу закона синуса користећи други образац (што је најлакше када рачунате страну која недостаје):
3 / грех (15) = б/ грех (30) = ц/sin(135)
Изаберите страну која недостаје желите да пронађете дужину. У овом случају, ради погодности, пронађите дужину странице б.
Да бисте поставили проблем, изабраћете два од синусних односа даних у закону синуса: онај који садржи вашу мету (страну б) и онај за који већ знате све информације (то је страна а и угао А). Поставите те две синусне релације једнаке једна другој:
3 / грех (15) = б/sin(30)
Сада реши за б. Почните помоћу калкулатора или табеле да бисте пронашли вредности греха (15) и греха (30) и попуните их у вашу једначину (зарад овог примера користите разломак 1/2 уместо 0,5), што даје ти:
3/0.2588 = б/(1/2)
Имајте на уму да ће вам учитељ рећи колико далеко (и да ли) желите заокружити ваше синусне вредности. Они би такође могли да затраже да користите тачну вредност синусне функције, која је у случају греха (15) врло неуредна (√6 - √2) / 4.
Затим поједноставите обе стране једначине, имајући у виду да је дељење разломком исто што и множење његовом инверзном:
11.5920 = 2_б_
Промените стране једначине ради погодности, јер су променљиве обично наведене лево:
2_б_ = 11.5920
И на крају, завршите решавање за б. У овом случају, све што треба да урадите је да поделите обе стране једначине са 2, што вам даје:
б = 5.7960
Дакле, страница вашег троугла која недостаје дугачка је 5,7960 јединица. Можете исто тако лако користити исти поступак за решавање за страну ц, постављајући свој термин у закону синуса једнак изразу за бочну а, пошто већ знате пуне информације те стране.