Замислите да стојите усред савршено кружне арене. Гледате према гужви уз бок арене и угледате свог најбољег пријатеља на једном седишту, а вашег наставника математике у средњој школи неколико одељака. Колика је удаљеност између њих и вас? Колико бисте морали пешачити да бисте путовали од места пријатеља до места учитеља? Које су мере углова између вас? Све су то питања везана за централне углове.
А. централни угао је угао који настаје када се два полупречника повуку од центра круга до његових ивица. У овом примеру, два полупречника су ваша два видна поља од вас, у средишту арене, до вашег пријатеља и ваш видни вид до вашег учитеља. Угао који се формира између ове две праве је централни угао. То је угао најближи центру круга.
Ваш пријатељ и ваш учитељ седе дуж обим или ивице круга. Пут дуж арене који их повезује је ан лук.
Нађите централни угао према дужини и обиму лука
Постоји неколико једначина помоћу којих ћете пронаћи централни угао. Понекад ћете добити Дужина лука, растојање дуж обима између две тачке. (У примеру, ово је удаљеност коју бисте морали прећи око арене да бисте прешли пријатеља од учитеља.) Однос између централног угла и дужине лука је:
(дужина лука) ÷ обим = (централни угао) ÷ 360 °
Централни угао биће у степенима.
Ако размислите, ова формула има смисла. Дужина лука ван укупне дужине око круга (обим) једнака је пропорцији као угао лука ван укупног угла у кругу (360 степени).
Да бисте ефикасно користили ову једначину, морате знати обим круга. Али ову формулу можете користити и за проналажење дужине лука ако знате централни угао и обим. Или, ако имате дужину лука и средишњи угао, можете пронаћи обим!
Нађите централни угао из дужине и полупречника лука
Такође можете да користите полупречник круга и дужину лука да бисте пронашли централни угао. Позовите меру централног угла θ. Онда:
θ = с÷ р, где је с дужина лука, а р радијус. θ се мери у радијанима.
Опет, можете преуредити ову једначину у зависности од информација које имате. Дужину лука можете пронаћи из полупречника и централног угла. Или можете пронаћи радијус ако имате централни угао и дужину лука.
Ако желите дужину лука, једначина изгледа овако:
с =θ * р, где је с дужина лука, р је радијус, а θ централни угао у радијанима.
Теорема о централном углу
Хајде да додамо преокрет вашем примеру када сте у арени са својим комшијом и својим учитељем. Сада је у арени трећа особа коју познајете: ваш сусед. И још нешто: они су иза вас. Морате се окренути да бисте их видели.
Ваш сусед је преко пута арене вашег пријатеља и вашег учитеља. Са становишта вашег комшије, постоји угао који обликују њихова видна линија према пријатељу и њихова видна линија према учитељу. То се зове уписани угао. Ан уписани угао је угао који чине три тачке дуж обима круга.
Теорема о централном углу описује однос између величине централног угла који сте формирали ви и уписаног угла који је формирао ваш сусед. Тхе Теорема о централном углу наводи да централни угао је двоструко уписани угао. (Ово претпоставља да користите исте крајње тачке. Обоје гледате учитеља и пријатеља, а не било кога другог).
Ево још једног начина да то напишем. Назовимо седиште вашег пријатеља А, седиште вашег наставника Б и седиште вашег комшије Ц. Ти, у центру, можеш бити О.
Дакле, за три тачке А, Б и Ц дуж обима круга и тачку О у центру, централни угао ∠АОЦ је два пута већи од уписаног угла ∠АБЦ.
То је, ∠АОЦ = 2∠АБЦ.
Ово има неког смисла. Ближи сте пријатељу и учитељу, тако да вам изгледају даље (већи угао). Вашем комшији са друге стране стадиона изгледају много ближе (мањи угао).
Изузетак од теореме о централном углу
Сада, померимо ствари нагоре. Ваш сусед на удаљеној страни арене почиње да се креће! Још увек имају видокруг према пријатељу и учитељу, али линије и углови се непрестано мењају како се комшија креће. Погодите шта: Све док сусед остаје изван лука између пријатеља и комшије, Теорема о централном углу још увек важи!
Али шта се дешава кад се комшија пресели између пријатеља и учитеља? Сада је ваш сусед унутра мањи лук, релативно мала удаљеност између пријатеља и учитеља у поређењу са већом удаљеностом око остатка арене. Тада ћете доћи до изузетка од теореме о централном углу.
Тхе изузетак од теореме о централном углу наводи да када је тачка Ц, сусед, унутар малог лука, уписани угао је додатак половини централног угла. (Запамтите да је угао и његов додатак додајте на 180 степени.)
Тако: уписани угао = 180 - (централни угао ÷ 2)
Или: ∠АБЦ = 180 - (∠АОЦ ÷ 2)
Визуализујте
Матх Опен Референце има алат за визуализацију теореме централног угла и његовог изузетка. Довучете „комшију“ на све различите делове круга и посматрате промену углова. Испробајте ако желите визуелну или додатну праксу!