У математици се понекад јавља потреба да се докаже да ли су функције зависне или независне једна од друге у линеарном смислу. Ако имате две функције које су линеарно зависне, графичким једначинама тих функција настају тачке које се преклапају. Функције са независним једначинама се не преклапају када се наришу. Један од метода утврђивања да ли су функције зависне или независне је израчунавање Вронског-а за функције.
Шта је Вронскиан?
Вронскиан две или више функција је оно што је познато као одредница, што је посебна функција која се користи за упоређивање математичких објеката и доказивање одређених чињеница о њима. У случају Вронског, одредница се користи за доказивање зависности или независности између две или више линеарних функција.
Вронска матрица
Да би се израчунао Вронскиан за линеарне функције, функције треба решити за исту вредност унутар матрице која садржи и функције и њихове деривате. Пример за то је
В (ф, г) (т) = \ почетак {вматрик} ф (т) & г (т) \\ ф '(т) & г' (т) \ крај {вматрик}
која Вронском даје две функције (фиг) који се решавају за једну вредност која је већа од нуле (т); можете видети две функцијеф(т) иг(т) у горњем реду матрице и изводиф'(т) иг'(т) у доњем реду. Имајте на уму да се Вронскиан може користити и за веће скупове. Ако, на пример, тестирате три функције са Вронскиманом, тада бисте могли попунити матрицу функцијама и дериватимаф(т), г(т) их(т).
Решавање Вронског
Једном када функције распоредите у матрицу, унакрсну умножавање сваке функције са дериватом друге функције и одузимање прве вредности од друге. За горњи пример ово вам даје
В (ф, г) (т) = ф (т) г '(т) - г (т) ф' (т)
Ако је коначни одговор једнак нули, то показује да су две функције зависне. Ако је одговор нешто друго осим нуле, функције су независне.
Вронскиан Пример
Да бисте имали бољу идеју о томе како ово функционише, претпоставите то
ф (т) = к + 3 \ тект {и} г (т) = к - 2
Користећи вредност одт= 1, функције можете решити као
ф (1) = 4 \ текст {и} г (1) = -1
Како су ово основне линеарне функције са нагибом 1, изводи обеф(т) иг(т) једнак 1. Унакрсно множење ваших вредности даје
В (ф, г) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
што даје коначни резултат од 5. Иако обе линеарне функције имају исти нагиб, оне су независне јер се њихове тачке не преклапају. Акоф(т) је произвео резултат -1 уместо 4, Вронскиан би уместо тога дао резултат нуле да укаже на зависност.