Кинетичка енергија ротацијеописује енергију кретања која је резултат ротације или кружног кретања објекта. Сећам се далинеарна кинетичка енергијамисемкрећући се брзиномвдаје 1 / 2мв2. Ово је једноставан прорачун за било који објекат који се креће правоцртном путањом. Примењује се на центар масе објекта, омогућавајући приближавање објекта као тачкасту масу.
Ако желимо да опишемо кинетичку енергију продуженог објекта који се подвргава сложенијим кретањима, прорачун постаје замршенији.
Могли бисмо да направимо узастопне апроксимације растављањем продуженог предмета на мале делове, од којих се сваки може приближити као тачке масе, а затим израчунајте линеарну кинетичку енергију за сваку тачку масе посебно, и саберите их све да бисте пронашли укупан за објект. Што мање разбијемо предмет, то је боља апроксимација. У ограничењу где делови постају бесконачно мали, то се може учинити помоћу рачуна.
Али имамо среће! Када је ротационо кретање у питању, долази до поједностављења. За обртни објекат, ако опишемо његову расподелу масе око осе ротације у смислу момента инерције,
Ја, тада смо у могућности да користимо једноставну једначину ротационе кинетичке енергије, о којој ћемо расправљати касније у овом чланку.Момент инерције
Момент инерцијеје мера колико је тешко навести да објекат промени своје ротационо кретање око одређене осе. Момент инерције за ротирајући објекат не зависи само од масе предмета, већ и од тога како је та маса распоређена око осе ротације. Што је даље од осе расподељене масе, теже је променити њено ротационо кретање, а самим тим и већи тренутак инерције.
Јединице СИ за момент инерције су кгм2 (што је у складу са нашим схватањем да то зависи од масе и удаљености од ротационе осе). Моменти инерције за различите предмете могу се наћи у табели или из рачуна.
Савети
Момент инерције за било који објекат може се наћи помоћу рачуна и формуле за тренутак инерције тачкасте масе.
Једначина ротационе кинетичке енергије
Формула ротационе кинетичке енергије дата је:
КЕ_ {рот} = \ фрац {1} {2} И \ омега ^ 2
ГдеЈаје момент инерције објекта иωје угаона брзина објекта у радијанима у секунди (рад / с). СИ јединица за ротацијску кинетичку енергију је џул (Ј).
Облик формуле ротационе кинетичке енергије је аналоган једначини транслационе кинетичке енергије; момент инерције игра улогу масе, а угаона брзина замењује линеарну брзину. Имајте на уму да једначина ротационе кинетичке енергије даје исти резултат за тачкасту масу као и линеарна једначина.
Ако замислимо тачкасту масумкрећући се у кругу полупречникарбрзиномв, тада је његова угаона брзина ω = в / р, а момент инерције мр2. Обе једначине кинетичке енергије дају исти резултат, као што се очекивало:
КЕ_ {рот} = \ фрац {1} {2} И \ омега ^ 2 = \ фрац {1} {2} (мр ^ 2) (в / р) ^ 2 = \ фрац {1} {2} \ фрац {м \ откажи {р ^ 2} в ^ 2} {\ откажи {р ^ 2}} = \ фрац {1} {2} мв ^ 2 = КЕ_ {лин}
Ако се објекат ротира и његово средиште масе се креће дуж праве линије (као што се на пример дешава са гумом за котрљање), тадаукупна кинетичка енергијаје збир ротационе кинетичке енергије и транслационе кинетичке енергије:
КЕ_ {тот} = КЕ_ {рот} + КЕ_ {лин} = \ фрац {1} {2} И \ омега ^ 2 + \ фрац {1} {2} мв ^ 2
Примери употребе ротационе формуле кинетичке енергије
Формула ротационе кинетичке енергије има много примена. Може се користити за израчунавање једноставне кинетичке енергије предмета који се врти, за израчунавање кинетичке енергије котрљајући објекат (објекат који се подвргава и ротацијском и транслаторном кретању) и решити за други непознанице. Размотримо следећа три примера:
Пример 1:Земља се окреће око своје осе приближно једном у 24 сата. Ако претпоставимо да има једнолику густину, колика је његова кинетичка енергија ротације? (Полупречник земље је 6,37 × 106 м, а његова маса је 5,97 × 1024 кг.)
Да бисмо пронашли ротацијску кинетичку енергију, прво морамо пронаћи тренутак инерције. Приближавањем Земље као чврсте сфере добијамо:
И = \ фрац {2} {5} мр ^ 2 = \ фрац {2} {5} (5,97 \ тимес10 ^ {24} \ текст {кг}) (6,37 \ тимес10 ^ 6 \ тект {м}) ^ 2 = 9,69 \ пута10 ^ {37} \ текст {кгм} ^ 2
Угаона брзина је 2π радијана / дан. Претварањем овог у рад / с добија се:
2 \ пи \ фрац {\ тект {радианс}} {\ цанцел {\ тект {даи}}} \ фрац {1 \ цанцел {\ тект {даи}}} {86400 \ тект {сецондс}} = 7,27 \ тимес10 ^ {-5} \ тект {рад / с}
Дакле, ротацијска кинетичка енергија Земље је тада:
КЕ_ {рот} = \ фрац {1} {2} И \ омега ^ 2 = \ фрац {1} {2} (9,69 \ тимес10 ^ {37} \ тект {кгм} ^ 2) (7,27 \ тимес10 ^ {- 5} \ тект {рад / с}) ^ 2 = 2,56 \ пута 10 ^ {29} \ тект {Ј}
Забавна чињеница: Ово је више од 10 пута од укупне енергије коју сунце избаци у минуту!
Пример 2:Уједначени цилиндар масе 0,75 кг и полупречника 0,1 м котрља се по поду константном брзином од 4 м / с. Колика је његова кинетичка енергија?
Укупну кинетичку енергију даје:
КЕ_ {тот} = \ фрац {1} {2} И \ омега ^ 2 + \ фрац {1} {2} мв ^ 2
У овом случају, И = 1/2 мр2 је момент инерције за чврсти цилиндар, иωје повезан са линеарном брзином преко ω = в / р.
Поједностављивањем израза за укупну кинетичку енергију и укључивањем вредности добија се:
КЕ_ {тот} = \ фрац {1} {2} (\ фрац {1} {2} мр ^ 2) (в / р) ^ 2 + \ фрац {1} {2} мв ^ 2 = \ фрац {1 } {4} мв ^ 2 + \ фрац {1} {2} мв ^ 2 = \ фрац {3} {4} мв ^ 2 \\ = \ фрац {3} {4} (0,75 \ текст {кг}) (4 \ текст {м / с}) = 2,25 \ текст {Ј}
Имајте на уму да нисмо морали ни да користимо радијус! Отказао се због директне везе између ротационе брзине и линеарне брзине.
Пример 3:Ученик на бициклу спушта се низ брдо од одмора. Ако је вертикална висина брда 30 м, колико брзо студент иде на дно брда? Претпоставимо да је бицикл тежак 8 кг, возач 50 кг, сваки точак тежак 2,2 кг (укључен у тежину бицикла) и сваки точак има пречник 0,7 м. Приближите точкове као обруче и претпоставите да је трење занемарљиво.
Овде можемо користити механичко очување енергије да бисмо пронашли коначну брзину. Потенцијална енергија на врху брда претвара се у кинетичку енергију на дну. Та кинетичка енергија је збир транслационе кинетичке енергије целокупног система особа + бицикл и ротационе кинетичке енергије гума.
Укупна енергија система:
Е_ {тот} = ПЕ_ {врх} = мгх = (50 \ текст {кг} + 8 \ текст {кг}) (9,8 \ текст {м / с} ^ 2) (30 \ текст {м}) = 17.052 \ текст {Ј}
Формула за укупну енергију у смислу кинетичких енергија на дну брда је:
Е_ {тот} = КЕ_ {дно} = \ фрац {1} {2} И_ {гуме} \ омега ^ 2 + \ фрац {1} {2} м_ {тот} в ^ 2 \\ = \ фрац {1} {2} (2 \ пута м_ {гума} \ пута р_ {гума} ^ 2) (в / р_ {гума}) ^ 2 + \ фрац {1} {2} м_ {тот} в ^ 2 \\ = м_ {гума} в ^ 2 + \ фрац {1} { 2} м_ {тот} в ^ 2 \\ = (м_ {гума} + \ фрац {1} {2} м_ {тот}) в ^ 2
Решавање завдаје:
в = \ скрт {\ фрац {Е_ {тот}} {м_ {гума} + \ фрац {1} {2} м_ {тот}}}
Коначно, спајањем бројева добијамо свој одговор:
в = \ скрт {\ фрац {17,052 \ тект {Ј}} {2.2 \ тект {кг} + \ фрац {1} {2} 58 \ тект {кг}}} = 23,4 \ тект {м / с}