Производ две скаларне величине је скалар, а производ скалара са вектором је вектор, али шта је са производом два вектора? Да ли је скалар или неки други вектор? Одговор је, могао би бити и један и други!
Постоје два начина за множење вектора заједно. Један је узимајући њихов тачкасти производ који даје скалар, а други узимајући њихов унакрсни производ, који даје други вектор. Који производ користити, зависи од конкретног сценарија и коју количину покушавате да пронађете.
Тхетачкасти производсе понекад назива искаларни производилиунутрашњи производ. Геометријски, производ тачке између два вектора можете замислити као начин множења векторских вредности који броји само доприносе у истом смеру.
- Напомена: Тачкасти производи могу бити негативни или позитивни, али тај знак није показатељ смера. Иако се у једној димензији векторски правац често означава знаком, скаларне величине такође могу имати повезане знакове који нису индикатори смера. Дуг је само један од многих примера за то.
Дефиниција тачканог производа
Тачкасти производ вектораа = (аИкс, аг.)иб = (бИкс, бг.)у стандардном картезијанском координатном систему дефинисан је на следећи начин:
\ болд {а \ цдот б} = а_кб_к + а_иб_и
Када тачкасти производ вектора узмете са собом, настаје занимљив однос:
\ болд {а \ цдот а} = а_ка_к + а_иа_и = | \ болд {а} | ^ 2
Где |а|. | је величина (дужина)аПитагорином теоремом.
Формула производа са другим тачкама може се добити помоћу закона косинуса. То се ради на следећи начин:
Размотримо нула нулааибзаједно са њиховим вектором разликеа - б. Распоредите три вектора да бисте формирали троугао.
Закон косинуса из тригонометрије говори нам да:
| \ болд {аб} | ^ 2 = | \ болд {а} | ^ 2 + | \ болд {б} | ^ 2 - 2 | \ болд {а} || \ болд {б} | \ цос (\ тхета )
И користећи дефиницију тачканог производа добијамо:
| \ болд {аб} | ^ 2 = (\ болд {аб}) \ цдот (\ болд {аб}) = (а_к-б_Кс) ^ 2 + (а_и-б_и) ^ 2 \\ = (а_к) ^ 2 + (б_к) ^ 2 - 2а_кб_к + (а_и) ^ 2 + (б_и) ^ 2 - 2а_иб_и \\ = | \ болд {а} | ^ 2 + | \ болд {б} | ^ 2 - 2 \ болд {а \ цдот б}
Постављањем оба израза једнаким, а затим поједностављивањем, добијамо:
\ поништи {| \ болд {а} | ^ 2} + \ откажи {| \ болд {б} | ^ 2} - 2 \ болд {а \ цдот б} = \ поништи {| \ болд {а} | ^ 2 } + \ откажи {| \ болд {б} | ^ 2} - 2 | \ болд {а} || \ болд {б} | \ цос (\ тхета) \\\ тект {} \\\ подразумева \ бокед {\ болд {а \ цдот б} = | \ болд {а} || \ подебљано {б} | \ цос (\ тхета)}
Ова формулација омогућава да наша геометријска интуиција уђе у игру. Количина |а| цос (θ) је величина пројекције вектораана векторб.
Тако да тачкасти производ можемо сматрати пројекцијом једног вектора на други, а затим производом њихових вредности. Другим речима, може се видети као умножак једног вектора са количином другог вектора у истом смеру као и он сам.
Особине тачканог производа
Следи неколико својстава тачкастих производа која би вам могла бити корисна:
\ # \ текст {1. Ако} \ тхета = 0 \ тект {,}} \ болд {а \ цдот б} = | \ болд {а} || \ болд {б} |
То је зато што је цос (0) = 1.
\ # \ текст {2. Ако} \ тхета = 180 \ тект {,}} \ болд {а \ цдот б} = - | \ болд {а} || \ болд {б} |
То је зато што је цос (180) = -1.
\ # \ текст {3. Ако} \ тхета = 90 \ тект {,}} \ болд {а \ цдот б} = 0
То је зато што је цос (90) = 0.
- Напомена: За 0 <
θ
<90, тачкасти производ ће бити позитиван, а за 90 <
θ
<180, тачкасти производ биће негативан.
\ # \ текст {4. } \ болд {а \ цдот б} = \ болд {б \ цдот а}
Ово следи из примене комутативног закона на дефиницију тачкастих производа.
\ # \ текст {5. } \ болд {а \ цдот (б + ц)} = \ болд {а \ цдот б} + \ болд {а \ цдот ц}
Доказ:
\ болд {а \ цдот (б + ц)} = \ болд {а} \ цдот (б_к + ц_к, б_и + ц_и) \\ = а_к (б_к + ц_к) + а_и (б_и + ц_и) \\ = а_кб_к + а_кц_к + а_иб_и + а_иц_и \\ = (а_кб_к + а_иб_и) + (а_кц_к + а_иц_и) \\ = \ болд {а \ цдот б} + \ болд {а \ цдот ц}
\ # \ текст {6. } ц (\ болд {а \ цдот б}) = (ц \ болд {а}) \ цдот \ болд {б}
Доказ:
ц (\ болд {а \ цдот б}) = ц (а_кб_к + а_иб_и) \\ = ца_кб_к + ца_иб_и \\ = (ца_к) б_к + (ца_и) б_и \\ = (ц \ болд {а}) \ цдот \ подебљано {б}
Како пронаћи тачкасти производ
Пример 1:У физици рад који врши силаФна објекту док пролази кроз померањед, дефинисан је као:
В = \ болд {Ф} \ цдот \ болд {д} = | \ болд {Ф} || \ болд {д} | \ цос (\ тхета)
Где је θ угао између вектора силе и вектора померања.
Количина посла коју је извршила сила показатељ је колико је та сила допринела расељавању. Ако је сила у истом смеру као и померање (цос (θ) = 0), она даје свој максималан допринос. Ако је окомита на помак (цос (Ѳ) = 90), уопште не доприноси. А ако је супротно померању, (цос (θ) = 180), то даје негативан допринос.
Претпоставимо да дете гура воз-играчку преко стазе применом силе од 5 Н под углом од 25 степени у односу на линију стазе. Колико посла ради дете у возу када га помери 0,5 м?
Решење:
Ф = 5 \ текст {Н} \\ д = 0,5 \ текст {м} \\ \ тхета = 25 \ степен \\
Коришћењем тачкасте дефиниције производа и укључивањем вредности добијамо:
В = Фд \ цос (\ тхета) = 5 \ пута0,5 \ пута \ цос (25) = \ уоквирено {2,27 \ текст {Ј}}
Из овог конкретног примера требало би да буде још јасније да примена силе која је окомита на смер померања не делује. Ако је дете гурало воз под правим углом у односу на колосек, воз се неће кретати ни напред ни уназад дуж пруге. Такође је интуитивно да ће се рад детета у возу повећавати како се угао смањује, а сила и померање ближе поравнању.
Пример 2:Снага је још један пример физичке величине која се може израчунати помоћу тачкастог производа. У физици, снага је једнака раду подељеном са временом, али се такође може записати као тачкасти производ силе и брзине као што је приказано:
П = \ фрац {В} {т} = \ фрац {\ болд {Ф \ цдот д}} {т} = \ болд {Ф} \ цдот \ фрац {\ болд {д}} {т} = \ болд { Ф \ цдот в}
Гдевје брзина.
Размотрите претходни пример детета које се игра возом. Ако нам се уместо тога каже да се примењује иста сила која доводи до кретања воза брзином од 2 м / с низ пругу, тада можемо помоћу тачкастог производа пронаћи снагу:
П = \ болд {Ф \ цдот в} = Фв \ цос (\ тхета) = 5 \ тимес2 \ тимес \ цос (25) = 9,06 \ тект {Ваттс}
Пример 3:Још један пример где се тачкасти производи користе у физици је случај магнетног флукса. Магнетни ток је количина магнетног поља која пролази кроз дато подручје. Налази се као тачкасти производ магнетног пољаБ.са површиномА.. (Правац вектора површине јенормалноили окомито на површину подручја.)
\ Пхи = \ болд {Б \ цдот А}
Претпоставимо да поље од 0,02 Тесла пролази кроз жичану петљу полупречника 10 цм, правећи угао од 30 степени са нормалом. Шта је флукс?
\ Пхи = \ болд {Б \ цдот А} = БА \ цос (\ тхета) = 0,02 \ пута (\ пи \ тимес0,1 ^ 2) \ пута \ цос (30) = 0,000544 \ тект {Вб}
Када се овај флукс промени, било променом вредности поља, променом подручја петље или променом углом ротирањем петље или извора поља, у петљи ће се индуковати струја која генерише електрична енергија!
Опет запазите како је угао релевантан на интуитиван начин. Ако је угао био 90 степени, то би значило да ће поље лежати дуж исте равни као и површина и да никакве линије поља не би пролазиле кроз петљу, што би резултирало флуксом. Количина флукса се тада повећава што је угао између поља и нормале ближи 0. Тачкасти производ омогућава нам да утврдимо колики је део поља у правцу нормалном на површину, и стога доприноси флуксу.
Векторска пројекција и тачкасти производ
У ранијим одељцима је поменуто да тачкасти производ можемо сматрати начином пројектовања једног вектора на други, а затим множења њихових величина. Као такав, не би требало да чуди да се формула за векторску пројекцију може извести из тачканог производа.
Да би се пројектовао векторана векторб, узимамо тачкасти производ одасајединични вектору правцуб, а затим помножите овај скаларни резултат са истим јединичним вектором.
Вектор јединице је вектор дужине 1 који лежи у одређеном правцу. Јединица вектора у смеру векторабје једноставно векторскибподељена величином:
\ фрац {\ болд {б}} {| \ болд {б} |}
Дакле, ова пројекција је тада:
\ тект {Пројекција} \ болд {а} \ тект {на} \ болд {б} = \ Велики (\ болд {а} \ цдот \ фрац {\ болд {б}} {| \ болд {б} |} \ Велики) \ фрац {\ болд {б}} {| \ болд {б} |} = \ Велики (\ болд {а} \ цдот \ фрац {\ болд {б}} {| \ болд {б} | ^ 2} \ Велико) \ подебљано {б}
Тачкасти производ у вишим димензијама
Као што вектори постоје у вишој димензији, тако постоји и тачкасти производ. Замислите пример детета које поново гура воз. Претпоставимо да она гура и надоле и под углом у односу на стазу. У стандардном координатном систему, вектори силе и померања требало би да буду представљени као тродимензионални.
Ундимензија, тачкасти производ је дефинисан на следећи начин:
\ болд {а \ цдот б} = \ прекомерно подешавање {н} {\ ундерсет {и = 1} {\ сум}} а_иб_и = а_1б_1 + а_2б_2 +... + а_нб_н
Сва иста тачкаста својства производа од раније и даље важе, а закон косинуса још једном даје однос:
\ болд {а \ цдот б} = | \ болд {а} || \ болд {б} | \ цос (\ тхета)
Где се величина сваког вектора проналази на следећи начин, опет у складу са Питагорином теоремом:
| \ болд {а} | = \ скрт {\ болд {а \ цдот а}} = \ скрт {(а_1) ^ 2 + (а_2) ^ 2 +... + (а_н) ^ 2}
Како пронаћи тачкасти производ у три димензије
Пример 1:Тачкасти производ је посебно користан када је потребно пронаћи угао између два вектора. На пример, претпоставимо да желимо да одредимо угао измеђуа= (2, 3, 2) иб= (1, 4, 0). Чак и ако скицирате та два вектора у 3-размаку, може бити врло тешко обмотати главу око геометрије. Али математика је прилично једноставна, користећи чињеницу да:
\ болд {а \ цдот б} = | \ болд {а} || \ болд {б} | \ цос (\ тхета) \\\ подразумева \ тхета = \ цос ^ {- 1} \ Биг (\ фрац {\ подебљано {а \ цдот б}} {| \ болд {а} || \ болд {б} |} \ Велико)
Затим израчунавање тачканог производа одаиб:
\ болд {а \ цдот б} = 2 \ пута1 + 3 \ пута4 + 2 \ пута0 = 14
И рачунајући величине сваког вектора:
| \ болд {а} | = \ скрт {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ скрт {17} = 4.12 \\ | \ болд {б} | = \ скрт {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ скрт {17} = 4.12
И на крају све прикључујемо, добијамо:
\ тхета = \ цос ^ {- 1} \ Велики (\ фрац {\ болд {а \ цдот б}} {| \ болд {а} || \ болд {б} |} \ Биг) = \ цос ^ {- 1} \ Велики (\ фрац {14} {4,12 \ пута 4,12} \ Велики) = \ уоквирен {34,4 \ степен}
Пример 2:Позитивно наелектрисање налази се на координатној тачки (3, 5, 4) у тродимензионалном простору. У којој тачки дуж линије која показује у смеру вектораа= (6, 9, 5) да ли је електрично поље највеће?
Решење: Из нашег знања о томе како се снага електричног поља односи на удаљеност, знамо да је тачка у томе на линији која је најближа позитивном наелектрисању је локација на којој ће бити поље најјачи. Из нашег познавања тачкастих производа, могли бисмо претпоставити да употреба формуле за пројекцију овде има смисла. Та формула би нам требала дати вектор чији је врх тачно у тачки коју тражимо.
Морамо израчунати:
\ тект {Пројекција} (3, 5, 4) \ тект {на} \ болд {а} = \ Велики ((3,5,4) \ цдот \ фрац {\ болд {а}} {| \ болд { а} | ^ 2} \ Велико) \ подебљано {а}
Да бисмо то урадили, прво, пронађимо |а|2:
| \ болд {а} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Затим тачкасти производ:
(3,5,4) \ цдот (6,9,5) = 3 \ пута6 + 5 \ пута9 + 4 \ пута5 = 83
Поделивши ово са |а|2 даје 83/142 = 0,585. Затим помноживши овај скалар саадаје:
0,585 \ болд {а} = 0,585 \ пута (6,9,5) = (3,51,5,27,2,93)
Отуда је тачка дуж линије где је поље најјаче (3,51, 5,27, 2,93).