Сцхродингерова једначина је најосновнија једначина у квантној механици, а учење како је користити и шта она значи је од суштинског значаја за сваког надобудног физичара. Једначина је добила име по Ервину Сцхродингеру, који је 1933. године добио Нобелову награду заједно са Паул Дирац-ом за допринос квантној физици.
Сцхродингерова једначина описује таласну функцију квантног механичког система, која даје вероватносне информације о положају честице и другим уочљивим количинама као што је њена замах. Најважнија ствар коју ћете схватити о квантној механици након што научите о једначини је да су закони у квантној областивеома различитод оних класичне механике.
Таласна функција
Таласна функција је један од најважнијих концепата у квантној механици, јер је свака честица представљена таласном функцијом. Обично се добија грчко слово пси (Ψ), а зависи од положаја и времена. Када имате израз за таласну функцију честице, он вам говори све о чему се може знати физички систем, а различите вредности за уочљиве величине могу се добити применом оператора на то.
Квадрат модула таласне функције говори вам вероватноћу проналаска честице на неком положајуИксу датом тренуткут. То је случај само ако је функција „нормализована“, што значи да зброј модула квадрата на свим могућим локацијама мора бити једнак 1, тј. Да је честицасигуранбити лоцираннегде.
Имајте на уму да таласна функција пружа само пробабилистичке информације, тако да не можете предвидети резултат ниједног посматрања, иако јестемоћиодредити просек током многих мерења.
Можете користити таласну функцију за израчунавање„Вредност очекивања“за положај честице у временут, при чему је вредност очекивања просечна вредностИксдобили бисте ако бисте мерење поновили више пута.
Опет, ово вам не говори ништа о одређеном мерењу. У ствари, таласна функција је више расподела вероватноће за једну честицу него било шта конкретно и поуздано. Коришћењем одговарајућег оператора такође можете добити вредности очекивања за импулс, енергију и друге видљиве величине.
Сцхродингерова једначина
Сцхродингерова једначина је линеарна парцијална диференцијална једначина која описује еволуцију а квантно стање на сличан начин као и Њутнови закони (посебно други закон) у класичном механика.
Међутим, Сцхродингерова једначина је таласна једначина за таласну функцију дотичне честице, па је употреба једначине за предвиђање будућег стања система који се понекад назива „таласна механика“. Сама једначина произлази из очувања енергије и изграђена је око оператора који се зове Хамилтониан.
Најједноставнији облик записивања Сцхродингерове једначине је:
Х Ψ = иℏ \ фрац {\ делимично}} {\ делимично т}
Где је ℏ смањена Планцкова константа (тј. Константа подељена са 2π) иХ.је Хамилтонов оператор, који одговара збиру потенцијалне енергије и кинетичке енергије (укупне енергије) квантног система. Хамилтонијан је, међутим, прилично дугачак израз, па се пуна једначина може записати као:
- \ фрац {ℏ ^ 2} {2м} \ фрац {\ делимично ^ 2 Ψ} {\ делимично к ^ 2} + В (к) Ψ == иℏ \ фрац {\ делимично}} {\ делимично т}
Примећујући да је понекад (за експлицитно тродимензионалне проблеме) први делимични извод записан као Лаплацијев оператор ∇2. У основи, Хамилтониан делује на таласну функцију да би описао његову еволуцију у простору и времену. Али у временски неовисној верзији једначине (тј. Када систем не зависи одт), Хамилтонијан даје енергију система.
Решавање Сцхродингерове једначине значи проналажењеквантно-механичка таласна функцијато га задовољава за одређену ситуацију.
Временски зависна Сцхродингерова једначина
Временски зависна Сцхродингерова једначина је верзија из претходног одељка и она описује еволуцију таласне функције за честицу у времену и простору. Једноставан случај који треба размотрити је слободна честица јер је потенцијална енергијаВ.= 0, а решење поприма облик равног таласа. Ова решења имају облик:
Ψ = Ае ^ {кк −ωт}
Гдек = 2π / λ, λје таласна дужина иω = Е. / ℏ.
У осталим ситуацијама, део изворне једначине са потенцијалном енергијом описује граничне услове за просторни део таласне функције, а често је одвојен на функцију временске еволуције и временски неовисну једначина.
Временски независна Сцхродингерова једначина
За статичке ситуације или решења која формирају стојеће таласе (као што су потенцијални бунар, решења у стилу „честица у кутији“), функцију таласа можете раздвојити на временске и просторне делове:
Ψ (к, т) = Ψ (к) ф (т)
Када ово прођете у потпуности, временски део се може поништити, остављајући облик Сцхродингерове једначине којасамозависи од положаја честице. Функција таласа независна од времена тада се даје са:
Х Ψ (к) = Е Ψ (к)
ЕвоЕ.је енергија квантног механичког система иХ.је Хамилтонов оператор. Овај облик једначине поприма тачан облик једначине сопствених вредности, са таласном функцијом је сопствена функција, а енергија је сопствена вредност када се примењује Хамилтонов оператор томе. Проширујући Хамилтониан у експлицитнији облик, он се у потпуности може написати као:
- \ фрац {ℏ ^ 2} {2м} \ фрац {\ делимично ^ 2 Ψ} {\ делимично к ^ 2} + В (к) Ψ = Е Ψ (к)
Временски део једначине садржан је у функцији:
ф (т) = е ^ {\ фрац {иЕт} {ℏ}}
Решења за временски независну Сцхродингерову једначину
Временски неовисна Сцхродингерова једначина добро се даје прилично једноставним решењима јер смањује пуни облик једначине. Савршен пример за то је група решења „честица у кутији“ где се претпоставља да је честица у бесконачном квадратном потенцијалном бунару у једној димензији, тако да постоји нулти потенцијал (тј.В.= 0) у целом те нема шансе да се честица нађе изван бунара.
Постоји и коначни квадратни бунар, где потенцијал на „зидовима“ бунара није бесконачан, па чак и ако је већи од енергије честице, постојинекимогућност проналаска честице изван ње због квантног тунелирања. За бесконачни потенцијални бунар, решења имају облик:
Ψ (к) = \ скрт {\ фрац {2} {Л}} \ син \ бигг (\ фрац {нπ} {Л} к \ бигг)
ГдеЛје дужина бунара.
Потенцијал делта функције је врло сличан концепту потенцијалног бунара, осим са шириномЛидући на нулу (тј. бити бесконачно мали око једне тачке) и дубине бунара који иде у бесконачност, док ће производ два (У0) остаје константан. У овој врло идеализованој ситуацији постоји само једно везано стање, дато од:
Ψ (к) = \ фрац {\ скрт {мУ_0}} {ℏ} е ^ {- \ фрац {мУ_0} {ℏ ^ 2} \ верт к \ верт}
Са енергијом:
Е = - \ фрац {мУ_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Решење атома водоника за Сцхродингерову једначину
Коначно, решење атома водоника има очигледне примене на физику из стварног света, али у пракси ситуацију јер се електрон око језгра атома водоника може сматрати прилично сличним потенцијалном бунару проблема. Међутим, ситуација је тродимензионална и најбоље се описује сферним координатамар, θ, ϕ. Решење у овом случају даје:
Ψ (к) = НР_ {н, л} (р) П ^ м_ {л} (\ цос θ) е ^ {имϕ}
ГдеП.су Легендров полином,Р.су специфична радијална решења иН.је константа коју поправљате користећи чињеницу да таласну функцију треба нормализовати. Једначина даје нивое енергије дате:
Е = - \ фрац {\ му З ^ 2е ^ 4} {8ϵ_0х ^ 2н ^ 2}
ГдеЗ.овде је атомски број (даклеЗ.= 1 за атом водоника),еу овом случају је набој електрона (а не константае = 2.7182818...), ϵ0 је пермитивност слободног простора иμје смањена маса која се заснива на маси протона и електрона у атому водоника. Овај израз је добар за било који атом сличан водонику, што значи у било којој ситуацији (укључујући јоне) где постоји један електрон који кружи око централног језгра.