Решавање мистерија електромагнетизма било је једно од највећих достигнућа физике до данас, а научене лекције су у потпуности садржане у Маквелловим једначинама.
Јамес Цлерк Маквелл даје име овим четирима елегантним једначинама, али оне су врхунац деценија рада многих физичара, укључујући Мицхаел Фарадаи, Андре-Марие Ампере и Царл Фриедрицх Гаусс - који дају имена три од четири једначине - и многе други. Иако је сам Маквелл само додао термин у једну од четири једначине, имао је предвиђање и разумевање сакупите најбоље од рада који је урађен на тој теми и представите их на начин који још увек користи физичари данас.
Много, много година физичари су веровали да су електрицитет и магнетизам засебне силе и различити феномени. Али кроз експериментални рад људи попут Фарадаиа, постајало је све јасније да су они заправо две стране исти феномен, а Маквеллове једначине представљају ову обједињену слику која и данас важи као и 19. века века. Ако ћете студирати физику на вишим нивоима, апсолутно морате знати Маквеллове једначине и како их користити.
Максвелове једначине
Маквеллове једначине су следеће, и у диференцијалном и у интегралном облику. (Имајте на уму да иако је знање о диференцијалним једначинама овде корисно, концептуално разумевање је могуће и без њега.)
Гаусс-ов закон за електричну енергију
Диференцијални облик:
\ бм {∇ ∙ Е} = \ фрац {ρ} {ε_0}
Саставни облик:
\ инт \ бм {Е ∙} д \ бм {А} = \ фрац {к} {ε_0}
Нема монополског закона / Гаусс-ов закон за магнетизам
Диференцијални облик:
\ бм {∇ ∙ Б} = 0
Саставни облик:
\ инт \ бм {Б ∙} д \ бм {А} = 0
Фарадејев закон индукције
Диференцијални облик:
\ бм {∇ × Е} = - \ фрац {∂ \ бм {Б}} {∂т}
Саставни облик:
\ инт \ бм {Е ∙} д \ бм {с} = - \ фрац {∂ \ пхи_Б} {∂т}
Закон Ампере-Маквелл / Ампере’с Лав
Диференцијални облик:
\ бм {∇ × Б} = \ фрац {Ј} {ε_0 ц ^ 2} + \ фрац {1} {ц ^ 2} \ фрац {∂Е} {∂т}
Саставни облик:
\ инт \ бм {Б ∙} д \ бм {с} = μ_0 И + \ фрац {1} {ц ^ 2} \ фрац {∂} {∂т} \ инт \ бм {Е ∙} д \ бм {А }
Симболи коришћени у Максвеловим једначинама
Маквеллове једначине користе прилично велики избор симбола и важно је да разумете шта то значи ако ћете научити да их примените. Дакле, ево преласка са значења коришћених симбола:
Б.= магнетно поље
Е.= електрично поље
ρ= густина електричног наелектрисања
ε0= пермитивност слободног простора = 8.854 × 10-12 м-3 кг-1 с4 А.2
к= укупни електрични набој (нето збир позитивних и негативних набоја)
𝜙Б. = магнетни флукс
Ј= густина струје
Ја= електрична струја
ц= брзина светлости = 2.998 × 108 Госпођа
μ0 = пропустљивост слободног простора = 4π × 10−7 Н / А2
Поред тога, важно је знати да је оператор дел оператор, тачка између две величине (Икс ∙ И.) приказује скаларни производ, подебљани симбол множења између две величине је векторски производ (Икс × И.), да се дел оператер са тачком назива „дивергенција“ (нпр. ∇ ∙ Икс= дивергенцијаИкс= дивИкс) а дел оператор са скаларним производом назива се увој (нпр. ∇× И.= увојак одИ.= увијањеИ.). Коначно,А.у дА.означава површину затворене површине за коју рачунате (понекад записану као дС.), ису дсје врло мали део границе отворене површине за коју рачунате (иако је ово понекад дл, позивајући се на бесконачно малу линијску компоненту).
Извођење једначина
Прва једначина Маквеллових једначина је Гауссов закон и она наводи да је нето електрични ток кроз а затворена површина једнака је укупном наелектрисању садржаном у облику подељеном са пропустљивошћу слободног свемир. Овај закон се може извести из Цоуломб-овог закона, након што се предузме важан корак у изражавању Цоуломб-овог закона у терминима електричног поља и ефекта који би он имао на пробно пуњење.
Друга Маквеллова једначина у суштини је еквивалентна изјави да „не постоје магнетни монополи“. Наводи да ће нето магнетни ток кроз затворену површину увек бити 0, јер су магнетна поља увек резултат а дипол. Закон се може извести из Биот-Саварт-овог закона, који описује магнетно поље које ствара тренутни елемент.
Трећа једначина - Фарадејев закон индукције - описује како променљиво магнетно поље производи напон у петљи жице или проводника. Првобитно је изведено из експеримента. Међутим, с обзиром на резултат да променљиви магнетни ток индукује електромоторну силу (ЕМФ или напон) и тиме електричну струју у петље жице, а чињеницу да је ЕМП дефинисан као линијски интеграл електричног поља око кола, закон је лако поставити заједно.
Четврта и последња једначина, Амперов закон (или Ампере-Маквелл закон који му даје признање за његово допринос) описује како магнетно поље настаје покретним наелектрисањем или променљивим електричним поље. Закон је резултат експеримента (и тако - као и све Маквеллове једначине - у ствари није био „изведен“ у традиционалном смислу), већ коришћењеСтокесова теоремаје важан корак у постизању основног резултата у данашњој форми.
Примери Максвелових једначина: Гаусов закон
Да будем искрен, поготово ако нисте баш на векторском рачуну, Маквеллове једначине изгледају прилично застрашујуће упркос томе што су све релативно компактне. Најбољи начин да их заиста разумете је да прођете кроз неке примере њихове употребе у пракси, а Гауссов закон је најбоље место за почетак. Гаусс-ов закон је у основи темељнија једначина која обавља посао Цоуломб-овог закона, и то је прилично лако из њега извести Цоуломб-ов закон узимајући у обзир електрично поље произведено тачком напунити.
Позивање наплатек, кључна тачка примене Гаусс-овог закона је избор праве „површине“ за испитивање електричног флукса. У овом случају добро делује сфера која има површинуА. = 4πр2, јер куглу можете центрирати на тачкасти набој. Ово је велика корист за решавање оваквих проблема, јер тада не треба да интегришете различито поље по површини; поље ће бити симетрично око тачкастог наелектрисања и тако ће бити константно на површини сфере. Дакле, интегрални облик:
\ инт \ бм {Е ∙} д \ бм {А} = \ фрац {к} {ε_0}
Може се изразити као:
Е × 4πр ^ 2 = \ фрац {к} {ε_0}
Имајте на уму даЕ.јер је електрично поље замењено једноставном величином, јер ће се поље од тачкастог наелектрисања једноставно раширити подједнако у свим правцима од извора. Сада, поделом кроз површину сфере добија се:
Е = \ фрац {к} {4πε_0р ^ 2}
Пошто је сила повезана са електричним пољем заЕ. = Ф/к, гдекје тест пуњење,Ф = кЕ, и тако:
Ф = \ фрац {к_1к_2} {4πε_0р ^ 2}
Тамо где су претплате додате да би се разликовале две наплате. Ово је Цоуломб-ов закон наведен у стандардном облику, који се показао као једноставна последица Гаусс-овог закона.
Примери Максвелових једначина: Фарадејев закон
Фарадејев закон вам омогућава да израчунате електромоторну силу у петљи жице која је резултат променљивог магнетног поља. Једноставан пример је петља од жице, полупречникар= 20 цм, у магнетном пољу које расте у величини одБ.и = 1 Т доБ.ф = 10 Т у простору ∆т= 5 с - колики је индуковани ЕМП у овом случају? Интегрални облик закона укључује флукс:
\ инт \ бм {Е ∙} д \ бм {с} = - \ фрац {∂ \ пхи_Б} {∂т}
који је дефинисан као:
ϕ = БА \ цос (θ)
Кључни део проблема овде је проналажење брзине промене флукса, али пошто је проблем прилично једноставан, делимични дериват можете заменити једноставном „променом“ сваке величине. А интеграл заправо само значи електромоторну силу, тако да Фарадаиев закон индукције можете преписати као:
\ тект {ЕМФ} = - \ фрац {∆БА \ цос (θ)} {∆т}
Ако претпоставимо да је петља жице у нормалу поравната са магнетним пољем,θ= 0 ° и тако цос (θ) = 1. Ово оставља:
\ тект {ЕМФ} = - \ фрац {∆БА} {∆т}
Тада се проблем може решити проналажењем разлике између почетног и крајњег магнетног поља и површине петље, како следи:
\ почетак {поравнато \ \ текст {ЕМФ} & = - \ фрац {∆БА} {∆т} \\ & = - \ фрац {(Б_ф - Б_и) × πр ^ 2} {∆т} \\ & = - \ фрац {(10 \ тект {Т} - 1 \ тект {Т}) × π × (0,2 \ тект {м}) ^ 2} {5 \ тект {с}} \\ & = - 0,23 \ тект {В } \ крај {поравнато}
Ово је само мали напон, али Фарадаи-ов закон се примењује на исти начин без обзира.
Примери Максвелових једначина: Ампере-Маквеллов закон
Ампере-Маквелл закон је последња Маквеллова једначина коју ћете морати редовно да примените. Једначина се враћа на Амперов закон у одсуству променљивог електричног поља, па је ово најлакши пример за разматрање. Помоћу ње можете извести једначину за магнетно поље које је резултат равне жице која носи струјуЈа, а овај основни пример довољан је да покаже како се користи једначина. Пуни закон је:
\ инт \ бм {Б ∙} д \ бм {с} = μ_0 И + \ фрац {1} {ц ^ 2} \ фрац {∂} {∂т} \ инт \ бм {Е ∙} д \ бм {А }
Али без промене електричног поља смањује се на:
\ инт \ бм {Б ∙} д \ бм {с} = μ_0 И
Као и код Гаусс-овог закона, ако за површину изаберете круг усредсређен на петљу жице, интуиција сугерише да резултујуће магнетно поље ће бити симетрична и тако интеграл можете заменити једноставним производом обима петље и јачине магнетног поља, одлазак:
Б × 2πр = μ_0 И
Дељење кроз са 2πрдаје:
Б = \ фрац {μ_0 И} {2πр}
Што је прихваћени израз за магнетно поље на даљинурнастала услед праве жице која носи струју.
Електромагнетни таласи
Када је Маквелл саставио свој сет једначина, почео је да проналази решења за њих како би објаснио разне појаве у стварном свету, а увид који је дао у светлост један је од најважнијих резултата он добијено.
Јер променљиво електрично поље генерише магнетно поље (по Ампереовом закону), а променљиво магнетно поље генерише електричног поља (по Фарадаиевом закону), Маквелл је разрадио да би могао да се шири само-ширећи електромагнетни талас могуће. Помоћу својих једначина пронашао је таласну једначину која би описала такав талас и утврдио да ће путовати брзином светлости. Ово је био својеврсни тренутак „еуреке“; схватио је да је светлост облик електромагнетног зрачења, радећи баш као и поље које је замислио!
Електромагнетни талас се састоји од таласа електричног поља и таласа магнетног поља који осцилирају напред-назад, поравнати међусобно под правим углом. Осциловање електричног дела таласа генерише магнетно поље, а осциловање овог дела опет ствара електрично поље, непрестано док путује кроз свемир.
Као и сваки други талас, и електромагнетни талас има фреквенцију и таласну дужину, а њихов производ је увек једнакц, брзина светлости. Електромагнетни таласи су свуда око нас, а осим видљиве светлости, и друге таласне дужине обично се називају радио-таласи, микроталаси, инфрацрвени, ултраљубичасти, рентгенски и гама зраци. Сви ови облици електромагнетног зрачења имају исти основни облик како је објашњено Маквелловим једначинама, али њихове енергије варирају у зависности од фреквенције (тј. Већа фреквенција значи већу енергију).
Дакле, за физичара је Маквелл рекао: "Нека буде светлост!"