Без обзира да ли је то клизач на леду који је вуче за руке и врти се брже као она или мачка која контролише колико се брзо окреће током пада како би се осигурало да стане на ноге, концепт момента инерције је пресудан за физику ротације кретање.
Иначе познат као ротациона инерција, тренутак инерције је ротациони аналог масе у други од Њутнових закона кретања, који описује тенденцију објекта да се одупре угаоном убрзању.
Концепт у почетку можда не изгледа превише занимљив, али у комбинацији са законом о очувању угла замах, може се користити за описивање многих фасцинантних физичких појава и предвиђање кретања у широком опсегу ситуацијама.
Дефиниција момента инерције
Момент инерције за објекат описује његову отпорност на угаоно убрзање, узимајући у обзир расподелу масе око његове осе ротације.
У суштини квантификује колико је тешко променити брзину ротације објекта, било да то значи покретање ротације, заустављање или промену брзине већ ротирајућег објекта.
Понекад се назива ротационом инерцијом и корисно је о томе размишљати као о аналогу масе у другом Њутновом закону:
Фнето = ма. Овде се маса објекта често назива инерцијалном масом и она описује отпор објекта на (линеарно) кретање. Ротациона инерција делује баш као ово за ротационо кретање, а математичка дефиниција увек укључује масу.Односи се еквивалентни израз другом закону за ротационо кретањеобртни момент (τ, ротациони аналог силе) до угаоног убрзањаαи момент инерцијеЈа:
\ тау = И \ алфа
Исти објекат може имати више момената инерције, међутим, иако се велики део дефиниције односи на расподелу масе, он такође објашњава локацију осе ротације.
На пример, док је тренутак инерције за штап који се окреће око његовог центраЈа = МЛ2/ 12 (гдеМ.је маса иЛје дужина штапа), исти штап који се окреће око једног краја има тренутак инерције дат каоЈа = МЛ2/3.
Једначине за тренутак инерције
Дакле, тренутак инерције тела зависи од његове масеМ., његов радијусР.и његова оса ротације.
У неким случајевима,Р.означава се каод, за растојање од осе ротације, а код осталих (као код штапа у претходном одељку) замењује се дужином,Л. СимболЈакористи се за момент инерције и има јединице кг м2.
Као што бисте могли да очекујете на основу онога што сте до сада научили, постоји много различитих једначина за момент инерције, а свака се односи на одређени облик и одређену осу ротације. У свим моментима инерције појамГОСПОДИН2 појављује се, иако за различите облике испред овог појма постоје различити разломци, ау неким случајевима може бити више појмова сабраних заједно.
ТхеГОСПОДИН2 компонента је моменат инерције за тачкасту масу на растојањуР.од осе ротације, а једначина за одређено круто тело гради се као збир тачкастих маса или интегрисањем бесконачног броја малих тачкастих маса преко објекта.
Иако у неким случајевима може бити корисно извести тренутак инерције објекта на основу једноставне аритметичке суме масе тачака или интегришући, у пракси постоји много резултата за уобичајене облике и осе ротације које можете једноставно користити, а да не морате да их изведете први:
Пуни цилиндар (ос симетрије):
И = \ фрац {1} {2} МР ^ 2
Пуни цилиндар (ос централног пречника, или пречник кружног пресека у средини цилиндра):
И = \ фрац {1} {4} МР ^ 2 + \ фрац {1} {12} МЛ ^ 2
Чврста кугла (централна ос):
И = \ фрац {2} {5} МР ^ 2
Танка сферна љуска (централна ос):
И = \ фрац {2} {3} МР ^ 2
Обруч (оса симетрије, тј. Окомито кроз центар):
И = МР ^ 2
Обруч (ос пречника, тј. Преко пречника круга који чини обруч):
И = \ фрац {1} {2} МР ^ 2
Штап (средишња ос, окомита на дужину штапа):
И = \ фрац {1} {12} МЛ ^ 2
Штап (ротирајући око краја):
И = \ фрац {1} {3} МЛ ^ 2
Инерција ротације и ос ротације
Разумевање зашто постоје различите једначине за сваку осу ротације је кључни корак ка схватању концепта момента инерције.
Размислите о оловци: Можете је ротирати окретањем око средине, до краја или увртањем око централне осе. Будући да ротациона инерција објекта зависи од расподеле масе око осе ротације, свака од ових ситуација је различита и за опис је потребна засебна једначина.
Можете инстинктивно разумети концепт момента инерције ако овај исти аргумент повећате до 30-метарског стуба заставе.
Превртање краја од краја до краја било би веома тешко - ако бисте уопште могли да управљате њиме - док би вртење пола око његове централне осе било много лакше. То је зато што обртни моменат снажно зависи од удаљености од осе ротације и од 30 стопа Пример бандере, окретање крајева преко краја укључује сваки крајњи крај удаљен 15 стопа од осе ротација.
Међутим, ако га вртите око централне осе, све је прилично близу осе. Ситуација је слична ношењу тешког предмета на дохват руке вс. држећи га уз тело или управљајући полугом од краја вс. близу упоришног места.
Због тога вам је потребна другачија једначина да бисте описали момент инерције за исти објекат у зависности од осе ротације. Ос коју одаберете утиче на удаљеност делова тела од осе ротације, иако маса тела остаје иста.
Коришћење једначина за тренутак инерције
Кључ за израчунавање момента инерције за круто тело је учење коришћења и примене одговарајућих једначина.
Размотрите оловку из претходног одељка која је окренута од краја до краја око централне тачке дуж њезине дужине. Иако нијесавршеноштап (шиљати врх ломи овај облик, на пример) може се моделирати као такав да вам уштеди пуни тренутак извођења инерције за објекат.
Дакле, моделирајући објекат као штап, користили бисте следећу једначину да бисте пронашли тренутак инерције, комбинован са укупном масом и дужином оловке:
И = \ фрац {1} {12} МЛ ^ 2
Већи изазов је проналажење момента инерције за сложене предмете.
На пример, узмите у обзир две куглице повезане штапом (које ћемо третирати као бесмасне да бисмо поједноставили проблем). Лопта једна је 2 кг и постављена је 2 м од осе ротације, а лопта два је 5 кг масе и 3 м удаљена од осе ротације.
У овом случају, тренутак инерције за овај сложени објекат можете пронаћи тако што ћете сваку куглу сматрати тачкастом масом и радити према основној дефиницији која:
\ почетак {поравнато} И & = м_1р_1 ^ 2 + м_2р_2 ^ 2 + м_3р_3 ^ 2…. \\ & = \ сум _ {\ матхцлап {и}} м_ир_и ^ 2 \ крај {поравнато}
Са индексима који једноставно разликују различите предмете (тј. Куглу 1 и куглу 2). Објекат са две кугле би тада имао:
\ почетак {поравнато} И & = м_1р_1 ^ 2 + м_2р_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ текст {кг} × (2 \; \ текст {м}) ^ 2 + 5 \; \ текст {кг} × (3 \; \ текст {м}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ текст {кг м} ^ 2 + 45 \; \ текст {кг м} ^ 2 \\ & = 53 \; \ текст {кг м} ^ 2 \ крај {поравнато}
Момент инерције и очување кутног замаха
Угаона импулса (ротациони аналог за линеарни импулс) дефинише се као умножак ротационе инерције (тј. Момента инерције,Ја) објекта и његове угаоне брзинеω), која се мери у степенима / с или рад / с.
Несумњиво ћете бити упознати са законом очувања линеарног импулса, а угаони импулс се такође чува на исти начин. Једначина за угаони моментЛ) је:
Л = Иω
Размишљање о томе шта ово у пракси значи објашњава многе физичке појаве, јер (у одсуству других сила), што је већа ротациона инерција објекта, то је нижа његова угаона брзина.
Размислите о томе да се клизач на леду врти константном угаоном брзином раширених руку и имајте на уму да му руке испружене повећавају радијусР.о чему је распоређена његова маса, што доводи до већег момента инерције него кад би му руке биле уз тело.
АкоЛ1 израчунава се раширених руку иЛ2, након увлачења руку мора имати исту вредност (јер је угаони импулс сачуван), шта се дешава ако цртањем у наручју смањи свој момент инерције? Његова угаона брзинаωповећава како би надокнадио.
Мачке изводе сличне покрете како би им помогле да слете на ноге при паду.
Испруживши ноге и реп, повећавају свој тренутак инерције и смањују брзину ротације, и обрнуто, могу да вуку у ногама како би смањили свој тренутак инерције и повећали брзину ротације. Користе ове две стратегије - заједно са другим аспектима свог „рефлекса исправљања“ - како би осигурали да им стопала слете прво, и можете видети различите фазе увијања и истезања на временским интервалима фотографија мачке слетање.
Тренутак инерције и ротационе кинетичке енергије
Настављајући паралеле између линеарног кретања и ротационог кретања, објекти такође имају ротацијску кинетичку енергију на исти начин на који имају линеарну кинетичку енергију.
Размислите о лопти која се котрља по тлу, окрећући се око своје централне осе и линеарно се крећући напред: Укупна кинетичка енергија лопте је збир њене линеарне кинетичке енергијеЕ.к и његова ротациона кинетичка енергијаЕ.труљење. Паралеле између ове две енергије огледају се у једначинама за обе, сећајући се да је објект момент инерције је ротациони аналог масе, а његова угаона брзина ротациони аналог линеарног брзинав):
Е_к = \ фрац {1} {2} мв ^ 2
Е_ {рот} = \ фрац {1} {2} Иω ^ 2
Јасно можете видети да обе једначине имају потпуно исти облик, са одговарајућим ротационим аналогима замењеним ротационом једначином кинетичке енергије.
Наравно, да бисте израчунали кинетичку енергију ротације, мораћете да замените одговарајући израз тренутка инерције објекта у простору заЈа. Узимајући у обзир лопту и моделирајући објекат као чврсту сферу, једначина је следећа:
\ почетак {поравнато} Е_ {рот} & = \ бигг (\ фрац {2} {5} МР ^ 2 \ бигг) \ фрац {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ фрац {1} {5 } МР ^ 2 ω ^ 2 \ крај {поравнато}
Укупна кинетичка енергија (Е.тот) је збир ове и кинетичке енергије лопте, па можете написати:
\ почетак {поравнато} Е_ {тот} & = Е_к + Е_ {рот} \\ & = \ фрац {1} {2} Мв ^ 2 + \ фрац {1} {5} МР ^ 2 ω ^ 2 \ енд { Поравнање}
За куглу од 1 кг која се креће линеарном брзином од 2 м / с, полупречника 0,3 м и угаоне брзине 2π рад / с, укупна енергија би била:
\ почетак {поравнато} Е_ {тот} & = \ фрац {1} {2} 1 \; \ текст {кг} × (2 \; \ текст {м / с}) ^ 2 + \ фрац {1} {5 } (1 \; \ текст {кг} × (0,3 \; \ текст {м}) ^ 2 × (2π \; \ текст {рад / с}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ текст {Ј} + 0,71 \; \ текст {Ј} \\ & = 2,71 \; \ текст {Ј} \ крај {поравнато}
У зависности од ситуације, објекат може поседовати само линеарну кинетичку енергију (на пример, кугла која је пала са висина којој није додељено окретање) или само ротациона кинетичка енергија (лопта која се врти, али остаје на месту).
Запамтите да јестеукупноенергија која је сачувана. Ако се лопта шутне у зид без почетне ротације и она се одбије мањом брзином, али са додељеним окретањем, као и енергија изгубљен због звука и топлоте када је успоставио контакт, део почетне кинетичке енергије пренесен је у ротацијску кинетичку енергију, па је таконе могуможда се крећите брзо као и пре повратка.