Интегрисање функција једна је од основних примена рачуна. Понекад је ово једноставно, као у:
Ф (к) = \ инт (к ^ 3 + 8) дк
У релативно компликованом примеру овог типа можете да користите верзију основне формуле за интеграцију неодређених интеграла:
\ инт (к ^ н + А) дк = \ фрац {к ^ {(н + 1)}} {н + 1} + Ак + Ц
гдеА.иЦ.су константе.
Тако за овај пример,
\ инт к ^ 3 + 8 = \ фрац {к ^ 4} {4} + 8к + Ц.
Интеграција основних функција квадратног корена
На површини је интеграција функције квадратног корена незгодна. На пример, могу вас ометати:
Ф (к) = \ инт \ скрт {(к ^ 3) + 2к - 7} дк
Али квадратни корен можете изразити као експонент, 1/2:
\ скрт {к ^ 3} = к ^ {3 (1/2)} = к ^ {(3/2)}
Интеграл стога постаје:
\ инт (к ^ {3/2} + 2к - 7) дк
на коју одозго можете применити уобичајену формулу:
\ почетак {поравнато} \ инт (к ^ {3/2} + 2к - 7) дк & = \ фрац {к ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ бигг (\ фрац {к ^ 2} {2} \ бигг) - 7к \\ & = \ фрац {2} {5} к ^ {(5/2)} + к ^ 2 - 7к \ крај {поравнато}
Интеграција сложенијих функција квадратног корена
Понекад можете имати више израза под радикалним знаком, као у овом примеру:
Ф (к) = \ инт \ фрац {к + 1} {\ скрт {к - 3}} дк
Можете користитиу-замена да се настави. Ево, поставили стеуједнак количини у називнику:
у = \ скрт {к - 3}
Реши ово заИксквадратацијом обе стране и одузимањем:
у ^ 2 = к - 3 \\ к = у ^ 2 + 3
Ово вам омогућава да добијете дк у смислууузимањем деривата одИкс:
дк = (2у) ду
Заменом назад у оригинални интеграл даје се
\ почетак {поравнато} Ф (к) & = \ инт \ фрац {у ^ 2 + 3 + 1} {у} (2у) ду \\ & = \ инт \ фрац {2у ^ 3 + 6у + 2у} {у } ду \\ & = \ инт (2у ^ 2 + 8) ду \ енд {поравнато}
Сада ово можете интегрисати користећи основну формулу и изражавањеуу погледуИкс:
\ почетак {поравнато} \ инт (2у ^ 2 + 8) ду & = \ фрац {2} {3} у ^ 3 + 8у + Ц \\ & = \ фрац {2} {3} (\ скрт {к - 3}) ^ 3 + 8 (\ скрт {к - 3}) + Ц \\ & = \ фрац {2} {3} (к - 3) ^ {(3/2)} + 8 (к - 3) ^ {(1/2)} + Ц \ крај {поравнато}