Баш као у алгебри, када започнете учење тригонометрије, скупљаћете скупове формула корисних за решавање проблема. Један од таквих скупова су идентитети са половним углом, које можете користити у две сврхе. Један је претварање тригонометријских функција (θ/ 2) у функције у смислу оних који су познатији (и којима се лакше манипулише)θ. Други је проналазак стварне вредности тригонометријских функцијаθ, кадаθможе се изразити као половина познатијег угла.
Преглед полууглатих идентитета
Многи уџбеници математике ће навести четири примарна идентитета угла угла. Али применом мешавине алгебре и тригонометрије, ове једначине се могу масирати у бројне корисне форме. Не морате све то напамет да научите напамет (осим ако ваш наставник не инсистира), али требали бисте, барем, разумети како их користити:
Полуугаони идентитет за синус
\ син \ бигг (\ фрац {θ} {2} \ бигг) = ± \ скрт {\ фрац {1 - \ цосθ} {2}}
Полуугаони идентитет за косинус
\ цос \ бигг (\ фрац {θ} {2} \ бигг) = ± \ скрт {\ фрац {1 + \ цосθ} {2}}
Половично-угаони идентитети за тангенту
\ тан \ бигг (\ фрац {θ} {2} \ бигг) = ± \ скрт {\ фрац {1 - \ цосθ} {1 + \ цосθ}} \\ \, \\ \ тан \ бигг (\ фрац { θ} {2} \ бигг) = \ фрац {\ синθ} {1 + \ цосθ} \\ \, \\ \ тан \ бигг (\ фрац {θ} {2} \ бигг) = \ фрац {1 - \ цосθ} {\ синθ} \\ \, \\ \ тан \ бигг ( \ фрац {θ} {2} \ бигг) = \ цсцθ - \ цотθ
Полуугаони идентитети за котангенс
\ цот \ бигг (\ фрац {θ} {2} \ бигг) = ± \ скрт {\ фрац {1 + \ цосθ} {1 - \ цосθ}} \\ \, \\ \ цот \ бигг (\ фрац { θ} {2} \ бигг) = \ фрац {\ синθ} {1 - \ цосθ} \\ \, \\ \ креветић \ бигг (\ фрац {θ} {2} \ бигг) = \ фрац {1 + \ цосθ} {\ синθ} \\ \, \\ \ креветић \ бигг ( \ фрац {θ} {2} \ бигг) = \ цсцθ + \ цотθ
Пример употребе полукутних идентитета
Па како се користе идентитети са пола угла? Први корак је препознавање да имате посла са углом који је половина познатог угла.
- Квадрант И: све триг функције
- Квадрант ИИ: само синус и косекант
- Квадрант ИИИ: само тангента и котангенс
- Квадрант ИВ: само косинус и секунда
замислите да се од вас тражи да пронађете синус угла 15 степени. Ово није један од углова за које ће већина ученика памтити вредности триг функција. Али ако дозволите да 15 степени буде једнако θ / 2, а затим решите за θ, видећете следеће:
\ фрац {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Будући да је резултујући θ, 30 степени, познатији угао, употреба формуле за полу-угао овде ће бити од помоћи.
Будући да је од вас затражено да пронађете синус, заиста постоји само једна формула полуугла за одабир:
\ син \ бигг (\ фрац {θ} {2} \ бигг) = ± \ скрт {\ фрац {1 - \ цосθ} {2}}
Замена уθ/ 2 = 15 степени иθ= 30 степени даје вам:
\ син (15) = ± \ скрт {\ фрац {1 - \ цос (30)} {2}}
Да је од вас затражено да пронађете тангенту или котангенс, од којих половина вишеструко увећава начине изражавања свог полутовног идентитета, једноставно бисте изабрали верзију која је изгледала најлакше за рад.
Знак ± на почетку неких идентитета са пола угла значи да би дотични корен могао бити позитиван или негативан. Ову двосмисленост можете решити користећи своје знање о тригонометријским функцијама у квадрантима. Ево кратког прегледа о томе које се триг функције враћајупозитивновредности у којима квадранти:
Будући да у овом случају ваш угао θ представља 30 степени, што пада у квадрант И, знате да ће вредност синуса коју добије бити позитивна. Дакле, можете испустити знак ± и једноставно процијенити:
\ син (15) = \ скрт {\ фрац {1 - \ цос (30)} {2}}
Замена у познатој, познатој вредности цос (30). У овом случају користите тачне вредности (за разлику од децималних апроксимација са графикона):
\ син (15) = \ скрт {\ фрац {1 - \ скрт {3/2}} {2}}
Затим поједноставите десну страну своје једначине да бисте пронашли вредност за грех (15). Започните множењем израза под радикалом са 2/2, што вам даје:
\ син (15) = \ скрт {\ фрац {2 (1 - \ скрт {3/2})} {4}}
Ово поједностављује на:
\ син (15) = \ скрт {\ фрац {2 - \ скрт {3}} {4}}
Затим можете извадити квадратни корен из 4:
\ син (15) = \ фрац {1} {2} \ скрт {2 - \ скрт {3}}
У већини случајева ово је отприлике онолико колико бисте поједноставили. Иако резултат можда није ужасно леп, синус непознатог угла сте превели у тачну количину.