Замислите да имате топ, циљајући да срушите зидове непријатељског замка, тако да ваша војска може јуришати и извојевати победу. Ако знате којом брзином путује лопта кад напусти топ и знате колико су удаљени зидови, под којим углом лансирања треба да испалите топ да бисте успешно погодили зидове?
Ово је пример проблема са кретањем пројектила, а овај и многе сличне проблеме можете решити помоћу једначина константног убрзања кинематике и неке основне алгебре.
Кретање пројектилаје како физичари описују дводимензионално кретање где је једино убрзање које предметни предмет доживљава константно убрзање надоле услед гравитације.
На површини Земље, константно убрзањеаје једнаког= 9,8 м / с2, а објект у коме се креће пројектил је уСлободан падса овим као јединим извором убрзања. У већини случајева креће се путем параболе, па ће покрет имати и хоризонталну и вертикалну компоненту. Иако би то имало (ограничен) ефекат у стварном животу, на срећу већина проблема са кретањем пројектила из средње школе занемарује ефекат отпора ваздуха.
Проблеме кретања пројектила можете решити користећи вредностги неке друге основне информације о ситуацији у питању, попут почетне брзине пројектила и смера у коме се креће. Учење решавања ових проблема је од суштинског значаја за полагање већине уводних часова физике и упознаће вас са најважнијим концептима и техникама које ће вам требати и на каснијим курсевима.
Једначине кретања пројектила
Једначине за кретање пројектила су једначине константног убрзања из кинематике, јер је убрзање гравитације једини извор убрзања који морате узети у обзир. Четири главне једначине које су вам потребне за решавање било ког проблема са кретањем пројектила су:
в = в_0 + на \\ с = \ бигг (\ фрац {в + в_0} {2} \ бигг) т \\ с = в_0т + \ фрац {1} {2} на ^ 2 \\ в ^ 2 = в_0 ^ 2 + 2ас
Ево,возначава брзину,в0 је почетна брзина,аје убрзање (што је једнако убрзању надоле одгу свим проблемима са кретањем пројектила),сје помак (из почетног положаја) и као и увијек имате времена,т.
Ове једначине су технички само за једну димензију и заиста би их могле представити векторске величине (укључујући брзинув, Почетна брзинав0 и тако даље), али у пракси можете само да користите ове верзије одвојено, једном уИкс-смер и једном уг.-смер (и ако сте икада имали тродимензионални проблем, уз-смер такође).
Важно је запамтити да су токористи се само за константно убрзање, што их чини савршеним за описивање ситуација у којима је једини утицај гравитације убрзање, али неприкладно за многе ситуације у стварном свету у којима треба да буду додатне снаге разматрати.
За основне ситуације, ово је све што ће вам требати да бисте описали кретање објекта, али ако је потребно, можете да укључите и друге фактори, попут висине са које је пројектил лансиран или их чак решавају за највишу тачку пројектила на његовом пут.
Решавање проблема са кретањем пројектила
Сада када сте видели четири верзије формуле кретања пројектила на којима ћете морати да се служите решавајући проблеме, можете почети да размишљате о стратегији коју користите за решавање покрета пројектила проблем.
Основни приступ је поделити проблем на два дела: један за хоризонтално кретање и један за вертикално кретање. То се технички назива хоризонтална компонента и вертикална компонента и свака има одговарајући скуп количине, као што су хоризонтална брзина, вертикална брзина, хоризонтално померање, вертикално померање и ускоро.
Овим приступом можете користити једначине кинематике, бележећи то времетје исти и за хоризонталне и за вертикалне компоненте, али ствари попут почетне брзине имаће различите компоненте за почетну вертикалну брзину и почетну хоризонталну брзину.
Кључна ствар коју треба разумети је да за дводимензионално кретање,било којиугао кретања може се раставити на хоризонталну компоненту и вертикалну компоненту, али када ако то урадите, постојаће једна хоризонтална верзија једначине у питању и једна вертикална верзија.
Занемаривање ефеката отпора ваздуха масовно поједностављује проблеме са кретањем пројектила јер их хоризонтални правац никада нема убрзање у проблему кретања пројектила (слободни пад), јер утицај гравитације делује само вертикално (тј. према површини Земља).
То значи да је хоризонтална компонента брзине само константна брзина, а кретање се зауставља тек када гравитација спусти пројектил на ниво тла. Ово се може користити за одређивање времена лета, јер у потпуности зависи одг.-смерно кретање и може се у потпуности разрадити на основу вертикалног померања (тј. временаткада је вертикални помак нула говори вам време лета).
Тригонометрија у проблемима кретања пројектила
Ако вам наведени проблем даје угао лансирања и почетну брзину, мораћете да користите тригонометрију да бисте пронашли хоризонталну и вертикалну компоненту брзине. Када то учините, можете да користите методе описане у претходном одељку да бисте заправо решили проблем.
У основи стварате правоугли троугао са хипотенузом нагнутом под углом лансирања (θ) и величину брзине као дужину, а тада је суседна страница хоризонтална компонента брзине а супротна вертикална брзина.
Нацртајте правоугли троугао према упутствима и видећете да ћете пронаћи хоризонталне и вертикалне компоненте користећи тригонометријске идентитете:
\ тект {цос} \; θ = \ фрац {\ тект {суседни}} {\ тект {хипотенуза}}
\ тект {син} \; θ = \ фрац {\ тект {насупрот}} {\ тект {хипотенуза}}
Тако се ови могу преуредити (и са супротним =вг. а суседни =вИкс, тј. вертикална компонента брзине, односно хоризонтална компонента брзине, и хипотенуза =в0, почетна брзина) да се добије:
в_к = в_0 цос (θ) \\ в_и = в_0 син (θ)
Ово је сва тригонометрија која ће вам требати да бисте решили проблеме са кретањем пројектила: укључивање угла лансирања у једначину, користећи функције синуса и косинуса на вашем калкулатору и множењем резултата почетном брзином пројектил.
Дакле, да бисмо прошли кроз пример тога, са почетном брзином од 20 м / с и углом лансирања од 60 степени, компоненте су:
\ почетак {поравнато} в_к & = 20 \; \ текст {м / с} × \ цос (60) \\ & = 10 \; \ текст {м / с} \\ в_и & = 20 \; \ текст {м / с} × \ син (60) \\ & = 17.32 \; \ текст {м / с} \ крај {поравнато}
Пример проблема са кретањем пројектила: Ватромет у експлозији
Замислите да ватромет има осигурач дизајниран тако да експлодира на највишој тачки своје путање, а лансиран је почетном брзином од 60 м / с под углом од 70 степени у односу на хоризонталу.
Како бисте израчунали коју висинухексплодира на? И које би било време од лансирања када експлодира?
Ово је један од многих проблема који укључују максималну висину пројектила, а трик за њихово решавање је напоменути да на максималној висиниг.-компонента брзине је за тренутак 0 м / с. Укључивањем ове вредности завг. и одабиром најприкладније кинематичке једначине, можете се лако позабавити овим и било којим сличним проблемом.
Прво, гледајући кинематичке једначине, ова искаче (са доданим индексима који показују да радимо у вертикалном смеру):
в_и ^ 2 = в_ {0и} ^ 2 + 2а_ис_и
Ова једначина је идеална јер убрзање већ знате (аг. = -г), почетну брзину и угао лансирања (тако да можете да разрадите вертикалну компонентуви0). Пошто тражимо вредностсг. (тј. висинах) кадавг. = 0, крајњу вертикалну компоненту брзине можемо заменити нулом и преуредитисг.:
0 = в_ {0и} ^ 2 + 2а_ис_и
−2а_ис_и = в_ {0и} ^ 2
с_и = \ фрац {−в_ {0и} ^ 2} {2а_и}
Пошто има смисла позивати правац нагорег., а од убрзања услед гравитацијегје усмерена надоле (тј. у -г.смер), можемо променитиаг. за -г. Коначно, звањесг. висинах, можемо писати:
х = \ фрац {в_ {0и} ^ 2} {2г}
Дакле, једина ствар коју требате да решите да бисте решили проблем је вертикална компонента почетне брзине, што можете учинити помоћу тригонометријског приступа из претходног одељка. Дакле, са информацијама из питања (60 м / с и 70 степени до хоризонталног лансирања), ово даје:
\ почетак {поравнато} в_ {0и} & = 60 \; \ текст {м / с} × \ син (70) \\ & = 56,38 \; \ текст {м / с} \ крај {поравнато}
Сада можете решити за максималну висину:
\ почетак {поравнато} х & = \ фрац {в_ {0и} ^ 2} {2г} \\ & = \ фрац {(56,38 \; \ тект {м / с}) ^ 2} {2 × 9,8 \; \ тект {м / с} ^ 2} \\ & = 162,19 \ тект {м} \ енд {алигн}
Тако ће ватромет експлодирати на отприлике 162 метра од тла.
Наставак примера: Време лета и пређено путовање
Након решавања основа проблема кретања пројектила заснованог искључиво на вертикалном кретању, остатак проблема може се лако решити. Пре свега, време од лансирања када експлодира осигурач може се пронаћи употребом једне од других једначина константног убрзања. Гледајући опције, следећи израз:
с_и = \ бигг (\ фрац {в_и + в_ {0и}} {2} \ бигг) т \\
има временат, што је оно што желите да знате; померање, које знате за максималну тачку лета; почетна вертикална брзина; и брзина у тренутку максималне висине (за коју знамо да је нула). Дакле, на основу овога, једначина се може преуредити тако да добије израз времена лета:
с_и = \ бигг (\ фрац {в_ {0и}} {2} \ бигг) т \\ т = \ фрац {2с_и} {в_ {0и}}
Дакле, убацивање вредности и решавање затдаје:
\ почетак {поравнато} т & = \ фрац {2 × 162,19 \; \ текст {м}} {56,38 \; \ тект {м / с}} \\ & = 5,75 \; \ тект {с} \ крај {поравнато}
Тако ће ватромет експлодирати 5,75 секунди након лансирања.
На крају, лако можете одредити пређено хоризонтално растојање на основу прве једначине која (у хоризонталном смеру) наводи:
в_к = в_ {0к} + а_кт
Међутим, напомињући да у. Нема убрзањаИкс-смер, ово је једноставно:
в_к = в_ {0к}
Значи да је брзина уИксправац је исти током путовања ватромета. С обзиром дав = д/т, гдедје пређена удаљеност, то је лако видетид = вт, па тако и у овом случају (сасИкс = д):
с_к = в_ {0к} т
Тако да можете заменитив0к са тригонометријским изразом из ранијег, унесите вредности и решите:
\ почетак {поравнато} с_к & = в_0 \ цос (θ) т \\ & = 60 \; \ текст {м / с} × \ цос (70) × 5,75 \; \ текст {с} \\ & = 118 \; \ текст {м} \ крај {поравнато}
Дакле, путоваће око 118 м пре експлозије.
Додатни проблем кретања пројектила: Ватромет Дуд
Да бисте радили на додатном проблему, замислите ватромет из претходног примера (покренута почетна брзина 60 м / с на 70 степени до хоризонтале) није успео да експлодира на врхунцу своје параболе, већ је слетео на земљу неексплодиран. Можете ли израчунати укупно време лета у овом случају? Колико ће удаљено од места лансирања у хоризонталном смеру слетети, или другим речима, шта једометпројектила?
Овај проблем функционише у основи на исти начин, тамо где су вертикалне компоненте брзине и померања главне ствари које требате узети у обзир да бисте одредили време лета, а од тога можете одредити домет. Уместо да детаљно обрађујете решење, ово можете сами да решите на основу претходног примера.
Постоје формуле за домет пројектила, које можете потражити или извести из једначина константног убрзања, али ово није заиста потребно јер већ знате максималну висину пројектила, а од овог тренутка је под слободним падом под ефектом гравитација.
То значи да можете одредити време потребно ватромету да падне на земљу, а затим то додати времену лета до максималне висине да бисте утврдили укупно време лета. Од тада је исти поступак коришћења константне брзине у хоризонталном смеру заједно са временом лета за одређивање домета.
Покажите да је време лета 11,5 секунди, а домет 236 м, уз напомену да ћете морати израчунати вертикалну компоненту брзине у тачки у којој се као тло удари о тло Корак.