А.векторје величина која са собом веже и величину и смер. Ово се разликује од аскаларколичина, која одговара само величини. Брзина је пример векторске величине. Има и величину (колико брзо нешто иде) и смер (смер у ком се креће.)
Вектори се често цртају као стрелице. Дужина стрелице одговара величини вектора, а тачка стрелице означава правац.
Постоје два начина рада са сабирањем и одузимањем вектора. Први је графички, манипулишући дијаграмима стрелица самих вектора. Други је математички, што даје тачне резултате.
Графичко сабирање и одузимање вектора у једној димензији
Када додајете два вектора, постављате реп другог вектора на врх првог вектора задржавајући оријентацију вектора. Тхерезултантни векторје вектор који започиње на репу првог вектора и усмерен је праволинијски на врх другог вектора.
На пример, размислите о додавању вектораА.иБ.који показују тачку у истом правцу дуж праве. Поставимо их „од врха до репа“ и резултујући вектор,Ц., показује у истом правцу и има дужину која је збир дужина одА.иБ..
Одузимање вектора у једној димензији у суштини је исто као и додавање, осим што „преврнете“ други вектор. Ово директно произлази из чињенице да је одузимање исто што и додавање негатива.
Математичко сабирање и одузимање вектора у једној димензији
Када радите у једној димензији, смер вектора може бити означен знаком. Одабрали смо један правац који ће бити позитиван (обично су „горе“ или „десно“ изабрани као позитивни) и доделити било који вектор који показује у том смеру као позитивну величину. Било који вектор који показује у негативном смеру је негативна величина. Када сабирате или одузимате векторе, додајте или одузмите њихове величине помоћу приложених одговарајућих знакова.
Претпоставимо у претходном одељку, векторА.имао величину 3 и векторБ.имао величину од 5. Тада резултујући векторЦ = А + Б =8, вектор магнитуде 8 који показује у позитивном смеру и резултујући векторД. = А - Б =-2, вектор магнитуде 2 који показује у негативном смеру. Имајте на уму да је ово у складу са графичким резултатима од раније.
Савет: Пазите да додате само векторе истог типа: брзина + брзина, сила + сила и тако даље. Као и сва математика у физици, јединице се морају подударати!
Графичко сабирање и одузимање вектора у две димензије
Ако први и други вектор нису дуж исте линије у картезијанском простору, можете да их користите истом методом „од врха до репа“ да бисте их додали или одузели. Да бисте додали два вектора, једноставно замислите да подигнете други и поставите његов реп на врх првог, задржавајући оријентацију како је приказано. Резултујући вектор је стрелица која почиње на репу првог вектора и завршава на врху другог вектора:
Баш као и у једној димензији, одузимање једног вектора од другог је еквивалентно окретању и додавању. Графички ово изгледа овако:
•••Дана Цхен | Научити
Напомена: Понекад се додавање вектора приказује графички спајањем репова два додата вектора и стварањем паралелограма. Резултујући вектор је тада дијагонала овог паралелограма.
Математичко сабирање и одузимање вектора у две димензије
Да бисте математички додали и одузели векторе у две димензије, следите ове кораке:
Разложите сваки вектор уИкс-компонента, која се понекад назива и хоризонтална компонента, и аг.-компонента, која се понекад назива и вертикална компонента, користећи тригонометрију. (Имајте на уму да компоненте могу бити негативне или позитивне, у зависности у ком смеру вектор показује)
ДодајтеИкс-компоненте оба вектора заједно, а затим додајтег.-компоненте оба вектора заједно. Овај резултат вам дајеИксиг.компоненте резултујућег вектора.
Величина резултујућег вектора може се наћи помоћу Питагорине теореме.
Правац резултујућег вектора може се наћи помоћу тригонометрије помоћу функције инверзне тангенте. Овај правац се обично даје као угао у односу на позитивноИкс-ос.
Тригонометрија у сабирању вектора
Подсетите се односа између страница и углова правоуглог троугла из тригонометрије.
\ син (\ тхета) = \ фрац {б} {ц} \\\ текст {} \\ \ цос (\ тхета) = \ фрац {а} {ц} \\\ текст {} \\ \ тан (\ тхета) = \ фрац {б} {а}
Питагорина теорема:
ц ^ 2 = а ^ 2 + б ^ 2
Кретање пројектила пружа класичне примере како бисмо могли да користимо ове односе како за декомпозицију вектора, тако и за одређивање коначне величине и смера вектора.
Размислите о двоје људи који се играју улова. Претпоставимо да вам се каже да се лопта баца са висине од 1,3 м брзином од 16 м / с под углом од 50 степени у односу на хоризонталу. Да бисте започели анализу овог проблема, мораћете да раставите овај почетни вектор брзине наИксиг.компоненте као што је приказано:
в_ {ки} = в_и \ цос (\ тхета) = 16 \ пута \ цос (50) = 10,3 \ тект {м / с} \\ в_ {ии} = в_и \ син (\ тхета) = 16 \ пута \ син (50) = 12,3 \ текст {м / с}
Ако хватач пропусти лопту и удари о тло, којом ће коначном брзином ударити?
Користећи кинематичке једначине, успели смо да утврдимо да су коначне компоненте брзине лопте:
в_ {кф} = 10,3 \ тект {м / с} \\ в_ {иф} = - 13,3 \ тект {м / с}
Питагорина теорема омогућава нам да пронађемо величину:
в_ {ф} = \ скрт {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ текст {м / с}
А тригонометрија нам омогућава да одредимо угао:
\ тхета = \ тан ^ {- 1} \ Велики (\ фрац {-13.3} {10.3} \ Велики) = - 52,2 \ степен
Пример сабирања и одузимања вектора
Размислите о аутомобилу који завија иза угла. Претпоставимовијер је аутомобил уИкс-правац магнитуде 10 м / с, ивфје под углом од 45 степени са позитивнимИкс-ос магнитуде 10 м / с. Ако се ова промена у кретању догоди за 3 секунде, колика је величина и смер убрзања аутомобила док се окреће?
Подсетимо се тог убрзањааје векторска величина дефинисана као:
а = \ фрац {(в_ф-в_и)} {т}
Гдевфивису коначна односно почетна брзина (а самим тим и векторске величине).
Да би се израчунала векторска разликавф - ви,прво морамо разложити почетни и крајњи вектор брзине:
в_ {ки} = 10 \ тект {м / с} \\ в_ {ии} = 0 \ тект {м / с} \\ в_ {кф} = 10 \ цос (45) = 7,07 \ тект {м / с} \\ в_ {иф} = 10 \ син (45) = 7,07 \ тект {м / с}
Затим одузимамо завршницуИксиг.компоненте из почетногИксиг.компоненте за добијање компонентивф - ви:
Затим одузимамоИксиг.компоненте:
(в_ф-в_и) _к = в_ {кф} -в_ {ки} = 7.07-10 = -2.93 \ тект {м / с} \\ (в_ф-в_и) _и = в_ {иф} -в_ {ии} = 7.07 -0 = 7,07 \ текст {м / с}
Затим поделите сваки по времену да бисте добили компоненте вектора убрзања:
а_к = \ фрац {-2.93} {3} = - 0.977 \ тект {м / с} ^ 2 \\\ тект {} \\ а_и = \ фрац {7.07} {3} = 2.36 \ тект {м / с} ^ 2
Користите Питагорину теорему да бисте пронашли величину вектора убрзања:
а = \ скрт {(- 0,977) ^ 2 + (2,36) ^ 2} = 2,55 \ текст {м / с} ^ 2
На крају, користите тригонометрију да бисте пронашли правац вектора убрзања:
\ тхета = \ тан ^ {- 1} \ Велики (\ фрац {2,36} {- 0,977} \ Велики) = 113 \ степен