Маквелл-Болтзманн-ова дистрибуција: функција, извођење и примери

Описивање онога што се догађа са врло малим честицама представља изазов у ​​физици. Не само да је тешко радити са њиховом величином, већ у већини свакодневних апликација немате посла са једном честицом, већ безброј њих свих који међусобно комуницирају.

Унутар чврстог тела, честице се не крећу једна поред друге, већ су прилично заглављене на свом месту. Чврсте материје се, међутим, могу проширити и контраховати са температурним варијацијама, а понекад чак и претрпе занимљиве промене у кристалним структурама у одређеним ситуацијама.

У течностима, честице се слободно крећу једна поред друге. Научници, међутим, нису склони проучавању течности, покушавајући да прате шта сваки појединачни молекул ради. Уместо тога, они разматрају већа својства целине, као што су вискозност, густина и притисак.

Баш као и код течности, и честице у гасу се слободно крећу једна поред друге. Заправо, гасови могу претрпети драматичне промене у запремини због разлика у температури и притиску.

Опет, нема смисла проучавати гас пратећи шта сваки појединачни молекул гаса ради, чак и у топлотној равнотежи. То не би било изводљиво, поготово ако узмете у обзир да их чак и у простору празне чаше за пиће има око 10

Тип гаса који је најлакше анализирати је идеалан гас. Идеалан је јер омогућава извесна поједностављења која физику чине много лакшом за разумевање. Многи гасови на стандардним температурама и притисцима делују приближно као идеални гасови, што чини њихово проучавање такође корисним.

У идеалном гасу претпоставља се да се сами молекули гаса сударају у савршено еластичним сударима, тако да не треба да бринете о томе како ће енергија променити облик као резултат таквих судара. Такође се претпоставља да су молекули веома удаљени један од другог, што у суштини значи не морате да бринете да ли ће се међусобно борити за свемир и можете се према њима понашати као према тачки честице. Идеални гасови такође нису преврући и не прехладни, тако да не треба да бринете о ефектима попут јонизације или квантних ефеката.

Одавде се честице гаса могу третирати као мале тачкасте честице које се одскачу у њиховој посуди. Али чак и уз ово поједностављење, још увек није изводљиво разумети гасове пратећи шта свака појединачна честица ради. Међутим, омогућава научницима да развију математичке моделе који описују везу између макроскопских величина.

Закон о идеалном гасу односи се на притисак, запремину и температуру идеалног гаса. ПритисакП.гаса је сила по јединици површине коју делује на зидове посуде у којој се налази. СИ јединица притиска је паскал (Па) где је 1Па = 1Н / м². ОбимВ.гаса је количина простора која заузима у СИ јединицама м³. И температураТ.гаса је мера просечне кинетичке енергије по молекулу, измерена у СИ јединицама Келвина.

Једначина која описује закон идеалног гаса може се написати на следећи начин:

ГдеН.је број молекула или број честица и Болцманова константак​ = 1.38064852×10^-23 кгм²/ с²К.

Еквивалентна формулација овог закона је:

Гденје број кртица и универзална гасна константаР.= 8,3145 Ј / молК.

Ова два израза су еквивалентна. Који ћете одабрати једноставно зависи од тога да ли мерите број својих молекула у моловима или у броју молекула.

• 1 мол = 6,022 × 10²³ молекула, што је Авогадров број.

Када се гас приближи идеалном, можете додатно поједноставити. Односно, уместо да размотре тачну физику сваког молекула - што би било немогуће због њиховог броја - третирају се као да су њихови покрети случајни. Због тога се статистика може применити да би се разумело шта се догађа.

У 19. веку су физичари Јамес Цлерк Маквелл и Лудвиг Болтзманн развили кинетичку теорију гасова на основу описаних поједностављења.

Класично, сваки молекул у гасу може имати приписану кинетичку енергију у облику:

Нема, међутим, сваки молекул у гасу исту кинетичку енергију јер се непрестано сударају. Тачна расподела кинетичких енергија молекула дата је Маквелл-Болтзманн расподелом.

Маквелл-Болтзманн статистика описује расподелу молекула идеалних гасова у различитим енергетским стањима. Функција која описује ову расподелу је следећа:

ГдеА.је нормализациона константа,Е.је енергија,кје Болтзманнова константа иТ.је температура.

Следеће претпоставке направљене за добијање ове функције су да, због њихове природе тачкастих честица, не постоји ограничење броја честица које могу заузети дато стање. Такође, расподела честица међу енергетским стањима нужно заузима највероватнију расподелу (са већи број честица, шансе да гас није близу ове расподеле постају све веће мали). И на крају, сва енергетска стања су подједнако вероватна.

Ове статистике функционишу јер је изузетно мало вероватно да било која честица може завршити са енергијом знатно изнад просека. Да јесте, то би оставило много мање начина да се остатак укупне енергије распореди. То се своди на игру бројева - како постоји много више енергетских стања која немају честице далеко изнад просека, вероватноћа да се систем налази у таквом стању је нестајуће мала.

Међутим, енергије ниже од просека су вероватније, опет због тога како се вероватноће играју. Будући да се сва кретања сматрају случајним и постоји већи број начина на које честица може завршити у нискоенергетском стању, тим стањима се даје предност.

Маквелл-Болтзманнова расподела је расподела брзина идеалних честица гаса. Ова функција расподеле брзине може се извести из Маквелл-Болтзманн статистике и користити за добијање односа између притиска, запремине и температуре.

Расподела брзиневдаје следећа формула:

Гдемје маса молекула.

Повезана крива расподеле, са функцијом расподеле брзине наг.-ос и молекуларна брзина наИкс-ос, приближно изгледа попут асиметричне нормалне кривине са дужим репом с десне стране. Има највећу вредност при највероватнијој брзинив_стр, и просечна брзина дата као:

Обратите пажњу и на то како има дугачак уски реп. Крива се незнатно мења на различитим температурама, а дугачки реп постаје „маснији“ на вишим температурама.

Користите однос:

ГдеЕ._интје унутрашња енергија,КЕ​_{​прос​} је просечна кинетичка енергија по молекулу из Маквелл-Болтзманн-ове расподеле. Заједно са законом о идеалном гасу могуће је добити везу између притиска и запремине у смислу молекуларног кретања: