Кутни момент: Дефиниција, једначина, јединице (са дијаграмима и примерима)

Размотрите сцену: Ви и пријатељ, због проблема који су ван ваше контроле, стојите на врху дуге, нагнуте рампе. Свако од вас је добио лопту у радијусу тачно 1 м. Речено вам је да је ваш направљен од једноличног материјала налик на пену и масе 5 кг. Лопта вашег пријатеља такође има масу од 5 кг, што потврђујете практичном вагом.

Ваш пријатељ се жели кладити да ако истовремено пустите две лопте, ваша ће прво доћи до дна. У искушењу сте да тврдите да ће, с обзиром на то да куглице имају исту масу и исти полупречник (а тиме и запремину), бити ће убрзане гравитацијом низ рампу до исте брзине током спуштања. Али нешто зауставља ваш „замах“ у клађењу, а ви се не кладите ...

... мудро, како се испоставило. Иако у почетку нема смисла, лопта вашег пријатеља, по свему судећи ваш близанац, креће се низ рампу спорије од ваше. По завршетку експеримента захтевате да се куглице демонтирају и прегледају знаци преваре. Уместо тога, све што сте открили је да је 5 кг масе у лопти вашег пријатеља било затворено у танку љуску око спољне стране, са унутрашњом шупљином.

Шта са горе описаном конфигурацијом нагиње вредност в у корист ваше лопте? Како се дешава, тако истоснагепромијенитидужни замахпредмета салинеарна брзина​, ​обртни моментипромијенитимомент импулсапредмета саугаона брзина​.

Чврсти котрљајући објекат има и линеарни и кутни импулс, јер се како се његово средиште масе креће константном брзином в (једнако до тангенцијалне брзине кугле или точка), сваки други део предмета ротира се око тог центра масе са угаоном брзином ω.

Како се маса распоређује у објекту нема утицаја на његов линеарни импулс, већ изврсно одређује његов кутни импулс. То чини кроз „масу налик“ (у ротационе сврхе) величине која се назива момент инерције, веће вредности од што подразумева и веће потешкоће у покретању нечега што се окреће и веће потешкоће у заустављању кад већ буде било ротирајући.

Угаони импулс је мера колико је тешко променити ротационо кретање објекта. Зависи од момента инерције објекта и његове угаоне брзине. Угаони импулс је очувана величина, што значи да је збир угаоних импулса честица у затвореном систему увек исти, чак и као што појединачне честице могу да флуктуирају.

Као што је напоменуто, угаони момент је такође функција расподеле масе око осе. Да бисте стекли интуитиван осећај за ово, замислите да стојите на метар од центра огромне вртешке која прави једну револуцију сваких 10 секунди. Сада замислите да стојите на истој конструкцији са истом угаоном брзином 1миљаод центра. Да би се схватила разлика у моменту кретања у ова два сценарија, није потребна велика машта.

​Угаони импулс је умножак момента инерције помножен са његовом угаоном брзином, или:
​

гдеЛ= угаони момент у кг ∙ м²/s,Ја= момент инерције у кг ∙ м², и ω = угаона брзина у радијанима у секунди (рад / с).

• ​Јаназива се и други моменат површине.

Имајте на уму да се дискусија проширила од тачкасте масе до чврстог тела, попут цилиндра или сфере, које се ротирају око осе. Центар масе предмета често није у његовом средиштугеометријскицентра, па вредности одЈазависе од начина расподеле масе предмета. Често је ово симетрично, али не и једнообразно, попут шупљег диска са свом масом у танкој траци споља (другим речима, прстена).

Вектор угаоног момента креће се дуж осе ротације, окомито на раван коју чинер, кружно „померање“ било које тачке у објекту кроз свемир.

Референтни графикон за вредностЈајер се различити уобичајени облици налазе у Ресурсима. Користите их да започнете са неколико основних проблема са моментом кретања.

• Напоменути даЈаза сферну љуску је (2/3) мр² док је сфера (2/5) мр². Враћајући се на улог у уводу, сада можете видети да је лопта вашег пријатеља (2/3) / (2/5) = 1,67 пута већи од момента инерције као ваш, објашњавајући ваш победу у „трци“.

1. Диск са ротационом инерцијомЈаод 1,5 кг ∙ м²/ с ротира око осе са угаоном брзиномωод 8 рад / с. Који је његов угаони замахЛ​?

2. Танак штап дужине 15 м, масе 5 кг - рецимо казаљка масивног сата - ротира се око тачке учвршћене на једном крају угаоне брзинеωод 2π рад / 60 с = (π / 30) рад / с. Колики је његов угаони моментЛ​?

Овог пута треба да потражите вредностЈа. За танку шипку која се креће на овај начин,Ја= (1/3) мр²​.

Упоредите ово са одговором у првом примеру. Да ли вас ово изненађује? Зашто или зашто не?

„Очување“ значи нешто мало другачије у физици него што је то у сфери екосистема. То једноставно значи да је укупна количина сачуваних количина (енергија, замах, маса и инерција „велика четворка“ сачуване величине у физици) у систему, укључујући свемир, увек остаје исти. Ако покушате да „елиминишете“ енергију, она се једноставно појави у другом облику, а сваки покушај да је „створи“ ослања се на већ постојећи извор.

Закон очувања угаоне количине кретања каже да се у затвореном систему укупни угаони момент не може променити. Будући да угаони момент зависи од угаоне брзине и момента инерције, може се предвидети како се било која од ових величина мора променити у односу једна на другу у датој ситуацији.

• Формално, с обзиром да се обртни моменат може изразити каоτ= дЛ/ дт (брзина промене ако је угаони момент са временом), када је збир обртних момената у систему нула, тада је дЛ/ дт такође мора бити нула и нема промене угаоног момента у систему током временског оквира у коме се систем процењује. Супротно томе, ако Л није константан, то подразумева неравнотежу обртних момената у систему (тј.τ_нетојенеједнак нули).

Ово је важан концепт у многим примерима механике из свакодневног живота. Класичан пример је клизачица на леду: када скочи у ваздух да направи троструку осовину, чврсто увлачи удове. Ово смањује њен укупни радијус око осе ротације, мењајући њен распоред масе тако да се њен момент инерције смањује (запамтите,Јапропорционалан је мр²​).

Међутим, јер је угаони импулс сачуван, акоЈасмањује се, њена угаона брзина мора да се повећа; овако се врти довољно брзо да изврши неколико ротација у ваздуху! Када слети, ради обрнуто - рашири своје удове, мењајући расподелу масе како би повећао свој тренутак инерције, успоравајући заузврат брзину ротације (угаону брзину).

Све у свему, угаони импулс система је константан, али варијаблама које одређују величину угаоног импулса може се манипулисати, и то стратешки, као у овом случају.

Почевши од 1600-их, Исаац Невтон започео је ефикасну револуцију у математичкој физици. Пошто је измислио рачун, био је у доброј позицији да износи формалне тврдње о претпоставља се универзалним законима управљање кретањем објеката, како транслационо (линеарно и кроз простор), тако и ротационо (циклично и око) ос).

• Разнихзакони о очувањукоји се касније помињу у великој мери нису Њутнова деца, али између њих и закона кретања постоје значајни односи.

​Њутнов први законнаводи да ће објекат који мирује или се креће константном брзином остати у овом стању уколико на њега не делује спољна сила. Ово се такође називазакон инерције.​

​Њутнов други законтврди да је нето силаФ_нетоделује на честицу са масомм, тежиће промени брзине или убрзању те масе. Ова позната веза изражена је математички каоФ_нето= ма​.

​Трећи Њутнов законкаже да за сваку силу која постоји у природи постоји сила једнака по величини, али усмерена у потпуно супротном смеру. Овај закон има важне импликације на очувана својства кретања, укључујући угаони момент.

Сада је изврсно време за преглед природе, правила и односа између њихсила​, ​замах(маса помножена са брзином) иенергије, који информишу не само расправе о моменту кретања, већ и свему осталом у класичној физици.

Као што је напоменуто, осим ако објекат не искуси спољну силу (или у случају ротирајућег објекта, спољни обртни моменат), његово кретање остаје непромењено. На Земљи, међутим, гравитација је готово увек у мешавини, као и они који мање доприносе отпору ваздуха и различитим врстама трења силе, тако да се ништа једноставно не креће уколико му се повремено не да енергија да замени оно што је „заузето“ тим хроничним „кретањем“ лопови."

Да поједноставимо, честица имаукупна енергијакоји се састоји одунутрашња енергија(нпр. вибрација његових молекула) имеханичка енергија. Механичка енергија је заокретни збирпотенцијална енергија(ПЕ; „ускладиштена“ енергија, обично гравитацијом) икинетичке енергије(КЕ; енергија кретања). Корисно је да је ПЕ + КЕ + ИЕ = константа за све системе, било да је то тачкаста маса (појединачна честица) или разне масе које звижде, у интеракцији.

Када чујете појмове који се односе на кретање, попут брзине, убрзања, померања и импулса, вероватно подразумевано претпостављате да је контекст линеарно кретање. Ротационо кретање, у ствари, има своје јединствене, али аналогне величине.

Док се линеарно померање мери у метрима (м) у СИ јединицама, угаоно померање се мери у радијанима (2π рад = 360 степени). Према томе,угаона брзинамери се у рад / с и представљаω, грчко слово омега.

Међутим, како се тачкаста маса креће око своје осе ротације, поред угаоне брзине, честица исцртава и кружни пут задатом брзином, слично линеарном кретању. Ова стопа јетангенцијална брзина​ ​в_т​​,и једнак је рω,гдерје полупречник или удаљеност од осе ротације.

С тим у вези,угаоно убрзање​ ​α(Грчка алфа) је брзина промене угаоне брзинеωа мери се у рад / с². Постоји ицентрипетално убрзање​ ​а_цдаов_т²/r,који је усмерен према унутра према оси ротације.

• Током расправе о угаоном моменту, пандан мву линеарном смислу, ускоро ће се темељито разговарати, знајте да је једна од његових компоненти,Ја, може се сматрати ротационим аналогом масе.

Угаони момент, попут силе, померања, брзине и убрзања, је авектоска величина, јер такве променљиве укључују обе авеличина(тј. број) и аправац, често дати изрази његових појединачних к-, и- и з-компонената. Количине које садрже само нумерички елемент, као што су маса, време, енергија и рад, познате су каоскаларне величине​.