Ste se kdaj vprašali, koliko vode ali kave lahko spravite v eno izmed tistih na videz nešteto plastičnih skodelic za enkratno uporabo, takšne, ki je na dnu ožja kot na vrhu? Z drugimi besedami, skoraj vsak papir, plastiko ali drugo skodelico za enkratno uporabo, ki ste jo kdaj videli ali uporabili? (Po pravici povedano nekatere skodelice nimajo poševnih stranic in so zato valjaste, vendar se zdi, da to velja le za trajno skodelice.)
Zgoraj opisana vrsta oblike temelji na a stožec, ki je rezultat črte, ki pometa skozi vesolje in sledi ukrivljeni poti, kot je krog (v najpreprostejšem primeru) ali elipsa. Skodelica običajno ni koničasta (nekateri imajo zamrznjene dobrote), vendar je geometrično gledano vseeno "kos" storža. Tako je enostavno, s potrpljenjem, najti glasnost.
Prostornina stožca
Formula za prostornino pravilnega ali desnega stožca (torej tistega s krožno osnovo) je
V = \ frac {1} {3} πr ^ 2h
Kje r je polmer osnove in h je višina stožca. Tudi ker je s strani desni stožec videti kot dva pravokotna trikotnika, postavljena skupaj, dolžine
s poševne strani stožca ima enako vrednost kot hipotenuza enega od teh trikotnikov. Tako je podan z uporabo pitagorejskega izreka: r2 + h2 = s2, torejs = \ sqrt {r ^ 2 + h ^ 2}
Obseg koničaste skodelice: prvi del
Recimo, da imate na spodnji strani skodelico, ki je široka 8 centimetrov (cm), na vrhu 10 cm in visoka 15 cm. Koliko tekočine lahko vsebuje v cm3, imenovani tudi mililitri (ml)?
Eden od načinov za reševanje te težave je risanje prereza skodelice, to je, kako izgleda s strani, potem ko je odrezan točno na polovico pravokotno na vaše vidno polje. Če narišete navpične črte navzgor od obeh točk, kjer se podstavek stika s stranicami do vrha skodelico, zdaj ste prerez razdelili na dva enaka, odsevana pravokotna trikotnika in a pravokotnik. Trikotniki imajo dolge "krake" 15 cm in kratke "krake" 1 cm (delitev razlike med osnovno širino in zgornjo širino).
Obseg koničaste skodelice: drugi del
Upoštevajte, kaj se zgodi, če stranice skodelice v diagramu razširite do točke pod dnom. Prav tako podaljšajte črto navzgor od sredine vrha proti točki, proti kateri se te črte konvergirajo. (Morda nimate prostora, da bi se strani stikali in tvorili zaprt trikotnik, vendar se približajte čim bližje,)
Zaradi načela podobnih trikotnikov veste, da je razmerje med dolgim krakom trikotnikov od zgoraj (15 cm) in razmerjem med majhnim krakom (1 cm) ali 15 proti 1, mora biti enako razmerju med majhnim krakom in dolgim krakom enega na novo ustvarjenega trikotnika med dnom "skodelice" in točka. Ker ima majhna noga vrednost 4 cm, mora biti dolga noga 15-krat večja ali 60 cm.
Tako imate zdaj opravka s prerezom stožca s skupno višino 15 + 60 = 75 cm in širino 10 cm, kar pomeni polmer 5 cm. Prostornina tega stožca minus prostornina stožca, ki se razteza do dna skodelice, ki ima višino 60 cm in širino 8 cm (r = 4 cm), daje želeni rezultat:
\ začetek {poravnano} \ frac {1} {3} × π × 5 ^ 2 × 75 = 1963,5 \ besedilo {ml} \\ \ frac {1} {3} × π × 4 ^ 2 × 60 = 1005,3 \ besedilo {ml} \\ 1963,5 - 1005,3 = 958,2 \ besedilo {ml} \ konec {poravnano}
Tako vaša skodelica vsebuje zelo blizu 1 L (1.000 ml) tekočine.
Kalkulator prostornine stožca in skodelice
Glejte Vire za seznam kalkulatorjev, ki vključujejo stožce z različnimi začetnimi kombinacijami informacij. Lahko pa uporabite takšen pristop zgoraj in skodelico razdelite na različne oblike, nato pa uporabite enostavnejše formule (na primer formula za prostornino kocke) v ustreznih kombinacijah za iskanje skupnega glasnost.