Predstavljajte si, da stojite sredi popolnoma okrogle arene. Gledate proti gneči ob straneh arene in na enem sedežu opazite svojega najboljšega prijatelja, nekaj oddelkov pa učitelja matematike v srednji šoli. Kakšna je razdalja med njimi in vami? Kako daleč bi morali hoditi, da bi potovali od prijateljevega do učiteljskega sedeža? Kakšne so mere kotov med vami? Vse to so vprašanja v zvezi s centralnimi koti.
A osrednji kot je kot, ki nastane, ko sta dva polmera potegnjena od središča kroga do njegovih robov. V tem primeru sta dva polmera vaša vidna polja od vas, v središču arene, do vašega prijatelja in vidna polja do vašega učitelja. Kot, ki nastane med tema dvema premicama, je osrednji kot. To je kot, najbližji središču kroga.
Vaš prijatelj in vaš učitelj sedijo ob obseg ali robovi kroga. Pot ob areni, ki ju povezuje, je lok.
Poiščite osrednji kot glede na dolžino in obseg loka
Obstaja nekaj enačb, s katerimi lahko poiščete osrednji kot. Včasih boste dobili dolžina loka, razdalja vzdolž obsega med dvema točkama. (V primeru je to razdalja, ki bi jo morali prehoditi po areni, da bi od svojega prijatelja prišli do svojega učitelja.) Razmerje med osrednjim kotom in dolžino loka je:
(dolžina loka) ÷ obseg = (osrednji kot) ÷ 360 °
Osrednji kot bo v stopinjah.
Ta formula je smiselna, če pomislite. Dolžina loka iz celotne dolžine okrog kroga (obsega) je enaka razmerju kot kot loka izven celotnega kota v krogu (360 stopinj).
Za učinkovito uporabo te enačbe morate poznati obseg kroga. Toda s to formulo lahko poiščete tudi dolžino loka, če poznate osrednji kot in obseg. Če pa imate dolžino loka in osrednji kot, lahko najdete obseg!
Poiščite osrednji kot glede na dolžino in polmer loka
Za iskanje osrednjega kota lahko uporabite tudi polmer kroga in dolžino loka. Pokličite mero osrednjega kota θ. Nato:
θ = s÷ r, kjer je s dolžina loka, r pa polmer. θ se meri v radianih.
Tudi to enačbo lahko preuredite glede na informacije, ki jih imate. Dolžino loka lahko najdete iz polmera in osrednjega kota. Lahko pa poiščete polmer, če imate osrednji kot in dolžino loka.
Če želite dolžino loka, je enačba videti takole:
s =θ * r, kjer je s dolžina loka, r polmer in θ osrednji kot v radianih.
Teorem osrednjega kota
Dajmo vašemu primeru primer, ko ste v areni s sosedom in učiteljem. Zdaj je v areni še tretja oseba, ki jo poznate: vaš sosed. In še nekaj: so za vami. Morate se obrniti, da jih vidite.
Vaš sosed je približno čez areno vašega prijatelja in vašega učitelja. Z vidika vašega soseda obstaja kot, ki ga oblikujeta vidno polje do prijatelja in vidnega polja do učitelja. To se imenuje vpisani kot. An vpisan kot je kot, ki ga tvorijo tri točke vzdolž kroga.
Teorem osrednjega kota pojasnjuje razmerje med velikostjo osrednjega kota, ki ste ga oblikovali vi, in vpisanim kotom, ki ga tvori vaš sosed. The Teorem osrednjega kota navaja, da osrednji kot je dvakrat vpisan kot. (To predvideva, da uporabljate iste končne točke. Oba gledata učitelja in prijatelja, ne koga drugega).
Tukaj je še en način, kako to napisati. Pokličimo sedež prijatelja A, sedež učitelja B in sedež soseda C. Ti, v središču, si lahko O.
Torej, za tri točke A, B in C vzdolž oboda kroga in točko O v središču je osrednji kot ∠AOC dvakrat vpisan kot ∠ABC.
To je, ∠AOC = 2∠ABC.
To ima nekaj smisla. Bližje ste prijatelju in učitelju, zato se vam zdijo bolj oddaljeni (večji kot). Sosedu na drugi strani stadiona se zdita veliko bližje (manjši kot).
Izjema od teorema o srednjem kotu
Zdaj pa prestavimo stvari gor. Vaš sosed na skrajni strani arene se začne premikati! Še vedno imajo vidno polje do prijatelja in učitelja, vendar se črte in koti spreminjajo, ko se sosed premika. Ugani, kaj: Dokler sosed ostane zunaj loka med prijateljem in sosedom, še vedno velja teorema o srednjem kotu!
A kaj se zgodi, ko se sosed preseli med prijatelj in učitelj? Zdaj je tvoj sosed znotraj manjši lok, sorazmerno majhna razdalja med prijateljem in učiteljem v primerjavi z večjo razdaljo okoli preostalega prostora. Nato pridete do izjeme o teoremu osrednjega kota.
The izjema od teorema o srednjem kotu navaja, da kadar je točka C, soseda, znotraj manjšega loka, je vpisani kot dodatek polovici osrednjega kota. (Ne pozabite, da je kot in njegov dodatek dodajte na 180 stopinj.)
Torej: vpisan kot = 180 - (osrednji kot ÷ 2)
Ali: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Vizualizirajte
Math Open Reference ima orodje za vizualizacijo teorema osrednjega kota in njegove izjeme. Povlečete "soseda" na vse različne dele kroga in opazujete spreminjanje kotov. Preizkusite, če želite vizualno ali dodatno vadbo!
