Vsi študentje matematike in številni študentje naravoslovja se v določenem obdobju med študijem srečujejo s polinomi, a na srečo jih je enostavno obvladati, ko se naučite osnov. Glavne operacije, ki jih boste morali opraviti s polinomskimi izrazi, so seštevanje, odštevanje, množenje in delitev in čeprav je delitev lahko zapletena, boste večino časa sposobni obvladati osnove lahkotnost.
Polinomi: definicija in primeri
Polinom opisuje algebrski izraz z enim ali več izrazi, ki vključujejo spremenljivko (ali več kot eno), z eksponenti in morebiti konstantami. Ne morejo vključevati delitve s spremenljivko, ne smejo imeti negativnih ali delnih eksponentov in morajo imeti končno število izrazov.
Ta primer prikazuje polinom:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
In to kaže še eno:
xy ^ 2 - 3 x + y
Obstaja veliko načinov razvrstitve polinoma, tudi po stopnjah (vsota eksponentov na najvišjem potenčnem členu, npr. prvi primer) in po številu izrazov, ki jih vsebujejo, kot so monomi (en izraz), binomi (dva člana) in trinomi (trije) pogoji).
Seštevanje in odštevanje polinoma
Seštevanje in odštevanje polinoma je odvisno od kombinacije izrazov, ki so mi všeč. Podoben izraz je izraz z enakimi spremenljivkami in eksponenti kot drugi, vendar je število, s katerim se pomnoži (koeficient), lahko različno. Na primerx2 in 4x 2 so podobni izrazi, ker imajo enako spremenljivko in eksponent, in 2xy 4 in 6xy 4 so tudi podobni izrazi. Vendarx2, x3, x2y2 iny2 niso podobni izrazi, ker vsak vsebuje različne kombinacije spremenljivk in eksponentov.
Polinome dodajte tako, da podobne izraze kombinirate na enak način kot z drugimi algebrskimi izrazi. Poglejte na primer težavo:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
Zberite podobne izraze, da dobite:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
In nato ocenite tako, da preprosto seštejete koeficiente in združite v en član:
10 x ^ 3 + 5 x + y
Upoštevajte, da ne morete storiti ničesaryker nima podobnega izraza.
Odštevanje deluje na enak način:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
Najprej upoštevajte, da se vsi izrazi v desnem oklepaju odštejejo od izrazov v levem oklepaju, zato to zapišite kot:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
Združite podobne izraze in ocenite, da dobite:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
Za takšno težavo:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Upoštevajte, da se znak minus uporablja za celoten izraz v desnem oklepaju, zato sta negativna znaka pred 3x2 postane znak za dodajanje:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
Nato izračunajte kot prej.
Množenje polinomskih izrazov
Množimo polinomske izraze z uporabo distribucijske lastnosti množenja. Skratka, pomnožite vsak člen v prvem polinumu z vsakim članom v drugem. Poglejte ta preprost primer:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
To rešite z uporabo distribucijske lastnosti, tako da:
\ začetek {poravnano} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ konec {poravnano}
Na enak način se lotite bolj zapletenih problemov:
\ začeti {poravnano} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {poravnano}
Te težave se lahko zapletejo pri večjih skupinah, vendar je osnovni postopek še vedno enak.
Delitev polinomskih izrazov
Delitev polinomskih izrazov traja dlje, vendar se ga lahko lotite v korakih. Poglejte izraz:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Najprej zapiši izraz kot dolga delitev z deliteljem na levi in dividendo na desni:
x + 2) \ čez črto {x ^ 2 - 3 x - 10}
Prvi člen v dividendi delite s prvim v delitelju in rezultat postavite na črto nad delitvijo. V tem primeru,x2 ÷ x = x, torej:
\ začeti {poravnano & x \\ x + 2) & \ nadčrtati {x ^ 2 - 3 x - 10} \ konec {poravnano}
Pomnožite ta rezultat s celotnim delilnikom, tako da v tem primeru (x + 2) × x = x2 + 2 x. Ta rezultat postavite pod delitev:
\ začetek {poravnano & x \\ x + 2) & \ nadčrtaj {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ konec {poravnano}
Rezultat v novi vrstici odštejte od izrazov neposredno nad njo (upoštevajte, da tehnično spremenite znak, tako da bi ga namesto tega dodali v primeru negativnega rezultata) in ga postavite v vrstico pod njim. Premaknite končni izraz tudi od prvotne dividende navzdol.
\ začeti {poravnano & x \\ x + 2) & \ nadčrtati {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ konec {poravnano}
Zdaj ponovite postopek z delilnikom in novim polinomom v spodnji vrstici. Torej delite prvi člen delitelja (x) do prvega izraza dividende (−5x) in dodajte to zgoraj:
\ začetek {poravnano} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {poravnano}
Pomnožite ta rezultat (−5x ÷ x= −5) s prvotnim deliteljem (torej (x + 2) × −5 = −5 x−10) in rezultat postavi v novo spodnjo vrstico:
\ start {poravnano} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ konec {poravnano}
Nato odštejte spodnjo vrstico od naslednje navzgor (v tem primeru spremenite znak in dodajte) in rezultat postavite na novo spodnjo vrstico:
\ začeti {poravnano} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {poravnano}
Ker je zdaj na dnu vrsta ničel, je postopek končan. Če bi ostali izrazi, ki niso nič, bi postopek ponovili še enkrat. Rezultat je v zgornji vrstici, torej:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
To delitev in nekatere druge je mogoče rešiti preprosteje, če lahko faktor na polinom v dividendi.