Matrice pomagajo reševati hkratne enačbe in jih najpogosteje najdemo v težavah, povezanih z elektroniko, robotiko, statiko, optimizacijo, linearnim programiranjem in genetiko. Za reševanje velikega sistema enačb je najbolje uporabiti računalnike. Vendar lahko za determinanto matrike 4 na 4 rešite z zamenjavo vrednosti v vrsticah in uporabo matrike "zgornji trikotnik". To navaja, da je determinanta matrike zmnožek števil v diagonali, kadar je vse pod diagonalo 0.
Če je mogoče, zamenjajte drugo vrstico, da na prvem mestu ustvarite 0. Pravilo navaja, da (vrstica j) + ali - (C * vrstica i) ne bo spremenila determinante matrike, kjer je "vrstica j" katera koli vrstica v matriki, je "C" pogost dejavnik in "vrstica i" je katera koli druga vrstica v matriko. Za primer matrike bo (vrstica 2) - (2 * vrstica 1) ustvarila 0 na prvem mestu vrstice 2. Vrednosti vrstice 2, pomnožene z vsako številko v vrstici 1, odštejte od vsake ustrezne številke v vrstici 2. Matrica postane:
Če je mogoče, zamenjajte številki v tretji vrstici, da ustvarite 0 na prvem in drugem mestu. Za primer matrice uporabite skupni faktor 1 in vrednosti odštejte od tretje vrstice. Primer matrike postane:
Če je mogoče, zamenjajte številki v četrti vrstici, da dobite ničle v prvih treh položajih. V primeru primera ima zadnja vrstica -1 na prvem mestu, prva vrstica pa 1 na ustreznem položaju, zato pomnožene vrednosti prve vrstice dodajte ustreznim vrednostim zadnje vrstice, da dobite ničlo v prvi položaj. Matrica postane:
Ponovno zamenjajte številke v četrti vrstici, da dobite ničle na preostalih položajih. Na primer, drugo vrstico pomnožite z 2 in vrednosti odštejte od vrednosti zadnje vrstice, da matriko pretvorite v "zgornjo trikotno" obliko, pri čemer so pod diagonalo le ničle. Matrica se zdaj glasi:
Ponovno zamenjajte številke v četrti vrstici, da dobite ničle na preostalih položajih. Vrednosti v tretji vrstici pomnožite s 3, nato pa jih dodajte ustreznim vrednostim v zadnji vrstici, da dobite končno ničlo pod diagonalo v matriki primerov. Matrica se zdaj glasi:
Pomnožite številke v diagonali, da rešite determinanto matrike 4 na 4. V tem primeru pomnožite 1_3_2 * 7 in poiščite determinanto 42.