Vsakdo, ki je kdaj igral partijo bilijara, pozna zakon ohranjanja giba, ne glede na to, ali se tega zaveda ali ne.
Zakon ohranjanja giba je bistven za razumevanje in napovedovanje, kaj se zgodi, ko predmeti medsebojno vplivajo ali trčijo. Ta zakon predvideva gibanje biljardnih žog in je tisto, kar odloča, ali se ta osem žog uvrsti v kotni žep ali ne.
Kaj je zagon?
Zagon je opredeljen kot zmnožek mase in hitrosti predmeta. V obliki enačbe je to pogosto zapisano kotp = mv.
Je vektorska količina, kar pomeni, da ima s tem povezano smer. Smer vektorja giba predmeta je enaka smeri kot njegov vektor hitrosti.
Gibanje izoliranega sistema je vsota gibanj vsakega posameznega predmeta v tem sistemu. Izoliran sistem je sistem medsebojnih predmetov, ki na noben način ne vplivajo na nič drugega. Z drugimi besedami, na sistem ne deluje nobena zunanja sila.
Preučevanje skupnega zagona v izoliranem sistemu je pomembno, ker vam omogoča napovedovanje, kaj se bo zgodilo s predmeti v sistemu med trki in interakcijami.
Kaj so zakoni o ohranjanju?
Preden začnemo razumeti zakon o ohranjanju zagona, je pomembno razumeti, kaj pomeni »ohranjena količina«.
Ohraniti nekaj pomeni na nek način preprečiti odpadke ali izgubo le-teh. V fiziki naj bi bila količina ohranjena, če ostane nespremenjena. Mogoče ste že slišali izraz, ki se nanaša na ohranjanje energije, kar pomeni, da energije ni mogoče niti ustvariti niti uničiti, temveč samo spremeniti obliko. Zato ostane njegova skupna količina nespremenjena.
Ko govorimo o ohranjanju zagona, govorimo o skupni količini zagona, ki ostane nespremenjen. Ta zagon se lahko prenaša z enega predmeta na drugega znotraj izoliranega sistema in se še vedno šteje za ohranjen, če se skupni zagon v tem sistemu ne spremeni.
Newtonov drugi zakon gibanja in zakon o ohranjanju giba
Zakon ohranjanja giba lahko izpeljemo iz Newtonovega drugega zakona gibanja. Spomnimo se, da je ta zakon neto silo, maso in pospešek predmeta vezal kotFmreža = ma.
Trik je v tem, da razmišljamo o tej neto sili, ki deluje na sistem kot celoto. Zakon o ohranjanju giba velja, kadar je neto sila na sistemu 0. To pomeni, da morajo za vsak objekt v sistemu edine sile, ki se nanj lahko delujejo, prihajati iz drugih objektov v sistemu ali pa jih nekako odpraviti.
Zunanje sile so lahko trenje, gravitacija ali zračni upor. Ti morajo bodisi ne delovati bodisi jim je treba preprečiti, da bo neto sila na sistemu 0.
Izpeljavo lahko začnete z izjavoFmreža = ma = 0.
Themv tem primeru je masa celotnega sistema. Zadevni pospešek je neto pospešek sistema, ki se nanaša na pospešek središča mase sistema (središče mase je povprečna lokacija celotnega sistema masa.)
Da bi bila neto sila 0, mora biti tudi pospešek 0. Ker je pospešek sprememba hitrosti skozi čas, to pomeni, da se hitrost ne sme spreminjati. Z drugimi besedami, hitrost je konstantna. Zato dobimo izjavo, damvcm= konstanta.
Kjevcmje hitrost središča mase, podana s formulo:
v_ {cm} = \ frac {m_1v_1 + m_2v_2 + ...} {m_1 + m_2 + ...}
Torej se izjava zdaj zmanjša na:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \ besedilo {konstanta}
To je enačba, ki opisuje ohranjanje giba. Vsak izraz je zagon enega od objektov v sistemu in vsota vseh trenutkov mora biti konstantna. Drug način, kako to izraziti, je navedba:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} +... = m_1v_ {1f} + m_2v_ {2f} + ...
Kjer podpisjazse nanaša na začetne vrednosti infdo končnih vrednosti, ki se običajno pojavijo pred in potem po nekakšni interakciji, kot je trk med predmeti v sistemu.
Elastični in neelastični trki
Razlog, zakaj je zakon o ohranjanju zagona pomemben, je ta, da vam lahko omogoči reševanje za neznana končna hitrost ali podobno za predmete v izoliranem sistemu, ki bi lahko trčili ob vsakega drugo.
Obstajata dva glavna načina, na katere lahko pride do takšnega trka: elastično ali neelastično.
Popolnoma elastičen trk je tisti, pri katerem se trkajoči predmeti odbijajo drug od drugega. Za to vrsto trka je značilno ohranjanje kinetične energije. Kinetična energija predmeta je podana s formulo:
KE = \ frac {1} {2} mv ^ 2
Če je kinetična energija ohranjena, mora vsota kinetičnih energij vseh predmetov v sistemu ostati nespremenjena pred kakršnimi koli trki in po njih. Uporaba ohranjanja kinetične energije skupaj z ohranjanjem zagona vam lahko omogoči reševanje več kot ene končne ali začetne hitrosti v trku.
Popolnoma neelastičen trk je tisti, pri katerem se ob trku dveh predmetov, ki se držijo drug drugega in se nato premikata kot posebna masa. To lahko poenostavi tudi težavo, ker morate namesto dveh določiti samo eno končno hitrost.
Medtem ko se zagon ohranja pri obeh vrstah trkov, se kinetična energija ohrani le pri elastičnem trku. Večina trkov v resničnem življenju ni niti popolnoma elastična niti popolnoma neelastična, ampak leži nekje vmes.
Ohranjanje kotnega zagona
Kar je bilo opisano v prejšnjem poglavju, je ohranjanje linearnega zagona. Obstaja še ena vrsta giba, ki velja za rotacijsko gibanje, ki se imenuje kotni moment.
Tako kot pri linearnem momentu se ohranja tudi kotni moment. Kotni moment je odvisen od mase predmeta in od tega, kako daleč je ta masa od vrtilne osi.
Ko se drsalec zavrti, boste videli, da se hitreje vrtijo, ko približajo roke telesu. To je zato, ker se njihov kotni moment ohrani le, če se njihova hitrost vrtenja poveča sorazmerno s tem, kako blizu roke približajo svojemu središču.
Primeri težav z ohranjanjem zagona
Primer 1:Dve biljardni kroglici enake mase se valjata drug proti drugemu. Eden potuje z začetno hitrostjo 2 m / s, drugi pa s hitrostjo 4 m / s. Če je njihov trk popolnoma elastičen, kakšna je končna hitrost vsake krogle?
1. rešitev:Pri reševanju tega problema je pomembno, da izberete koordinatni sistem. Ker se vse dogaja v ravni črti, se lahko odločite, da je gibanje v desno pozitivno in gibanje v levo negativno. Predpostavimo, da prva krogla potuje v desno s hitrostjo 2 m / s. Hitrost druge krogle je nato -4m / s.
Napišite izraz za skupni zagon sistema pred trkom, pa tudi skupno kinetično energijo sistema pred trkom:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2
Vstavite vrednosti, da dobite izraz za vsako:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} = 2m - 4m = -2m \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2 = \ frac {1} {2} m (2) ^ 2 + \ frac {1} {2} m (-4) ^ 2 = 10 m
Upoštevajte, da ker za mase niste dobili vrednosti, ostajajo neznane, čeprav sta bili obe masi enaki, kar je omogočilo določeno poenostavitev.
Po trku so izrazi za zagon in kinetično energijo:
mv_ {1f} + mv_ {2f} \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2} mv_ {2f} ^ 2
Če nastavite začetne vrednosti, enake končnim vrednostim vsake, lahko prekličete mase. Nato vam ostane sistem dveh enačb in dveh neznanih količin:
mv_ {1f} + mv_ {2f} = -2m \ implicira v_ {1f} + v {2f} = -2 \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2 } mv_ {2f} ^ 2 = 10m \ implicira v_ {1f} ^ 2 + v {2f} ^ 2 = 20
Rešitev sistema algebraično daje naslednje rešitve:
v_ {if} = -4 \ text {m / s} v_ {2f} = 2 \ text {m / s}
Opazili boste, da sta si žogici, ker sta imeli enako maso, v bistvu izmenjali hitrosti.
2. primer:1.200-kilogramski avtomobil, ki potuje na vzhod s hitrostjo 20 milj na uro, trči v glavo s 3000-kilogramskim tovornjakom, ki vozi na zahod s hitrostjo 15 milj na uro. Med trčenjem se vozili držijo skupaj. S kakšno končno hitrostjo se premikajo?
Rešitev 2:Pri tej težavi je treba omeniti enote. Enote SI za gibalni moment so kg⋅m / s. Vendar dobite maso v kg in hitrost v miljah na uro. Upoštevajte, da če so vse hitrosti v enotnih enotah, pretvorbe ni treba. Ko se odločite za končno hitrost, bo vaš odgovor v miljah na uro.
Začetni zagon sistema lahko izrazimo kot:
m_cv_ {ci} + m_tv_ {ti} = 1200 \ krat 20 - 3000 \ krat 15 = -21.000 \ besedilo {kg} \ krat \ besedilo {mph}
Končni zagon sistema lahko izrazimo kot:
(m_c + m_t) v_f = 4200v_f
Zakon ohranjanja giba vam pravi, da bi morale biti te začetne in končne vrednosti enake. Končno hitrost lahko rešite tako, da nastavite začetni moment enak končnemu gibu, pri čemer končno hitrost rešite na naslednji način:
4200v_f = -21.000 \ implicira v_f = \ frac {-21000} {4200} = -5 \ text {mph}
3. primer:Pokažite, da kinetična energija v prejšnjem vprašanju, ki je vključevalo neelastični trk med avtomobilom in tovornjakom, ni bila ohranjena.
Rešitev 3:Začetna kinetična energija tega sistema je bila:
\ frac {1} {2} m_cv_ {ci} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_tv_ {ti} ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200) (20) ^ 2 + \ frac { 1} {2} (3000) (15) ^ 2 = 557 500 \ besedilo {kg (mph)} ^ 2
Končna kinetična energija sistema je bila:
\ frac {1} {2} (m_c + m_t) v_f ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200 + 3000) 5 ^ 2 = 52.500 \ besedilo {kg (mph)} ^ 2
Ker začetna skupna kinetična energija in skupna končna kinetična energija nista enaki, potem lahko sklepate, da kinetična energija ni bila ohranjena.