Vrtljiva kinetična energijaopisuje energijo gibanja, ki je posledica vrtenja ali krožnega gibanja predmeta. Spomni se tegalinearna kinetična energijamašempremikanje s hitrostjovje podana z 1 / 2mv2. To je neposreden izračun za vsak predmet, ki se premika po premici. Velja za središče mase predmeta, kar omogoča približevanje predmeta kot točkovno maso.
Če želimo zdaj opisati kinetično energijo razširjenega predmeta, ki se giblje bolj zapleteno, postane izračun bolj zapleten.
Zaporedne približke bi lahko naredili tako, da razstavljeni predmet razbijemo na majhne koščke, ki jih lahko približamo kot a točkovno maso, nato izračunamo linearno kinetično energijo za vsako maso točk posebej in jih seštejemo, da poiščemo skupni znesek za predmet. Manjši kot razbijemo predmet, boljši je približek. V meji, kjer kosov postane neskončno malo, je to mogoče storiti z računom.
Ampak imamo srečo! Pri rotacijskem gibanju gre za poenostavitev. Če za vrtljivi predmet opišemo njegovo porazdelitev mase okoli vrtilne osi glede na njegov vztrajnostni moment,
jaz, potem lahko uporabimo preprosto enačbo rotacijske kinetične energije, o kateri bomo razpravljali kasneje v tem članku.Trenutek vztrajnosti
Vztrajnostni trenutekje merilo, kako težko je, da predmet spremeni svoje rotacijsko gibanje okoli določene osi. Vztrajnostni moment vrtečega se predmeta ni odvisen samo od mase predmeta, temveč tudi od tega, kako je ta masa porazdeljena okoli vrtilne osi. Bolj kot je os porazdeljena, težje je spremeniti njeno rotacijsko gibanje in s tem večji vztrajnostni moment.
Enote SI za vztrajnostni moment so kgm2 (kar je v skladu z našo predstavo, da je odvisna od mase in oddaljenost od rotacijske osi). Vztrajnostne trenutke za različne predmete lahko najdete v tabeli ali iz računa.
Nasveti
Vztrajnostni moment katerega koli predmeta lahko najdemo s pomočjo računa in formule za vztrajnostni moment točkovne mase.
Enačba rotacijske kinetične energije
Formula rotacijske kinetične energije je podana z:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
Kjejazje vztrajnostni moment predmeta inωje kotna hitrost predmeta v radianih na sekundo (rad / s). Enota SI za rotacijsko kinetično energijo je džul (J).
Oblika formule rotacijske kinetične energije je analogna enačbi translacijske kinetične energije; vztrajnostni moment igra vlogo mase, kotna hitrost pa nadomešča linearno hitrost. Upoštevajte, da enačba rotacijske kinetične energije daje enak rezultat za točkovno maso kot linearna enačba.
Če si predstavljamo točkovno masomki se gibljejo v krogu polmerars hitrostjov, potem je njegova kotna hitrost ω = v / r, vztrajnostni moment pa mr2. Obe enačbi kinetične energije dajeta enak rezultat, kot smo pričakovali:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ cancel {r ^ 2} v ^ 2} {\ cancel {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
Če se predmet vrti in se njegovo masno središče premika po ravni črti (kot se to na primer zgodi z valjarsko gumo), potemcelotna kinetična energijaje vsota rotacijske kinetične energije in translacijske kinetične energije:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Primeri uporabe formule rotacijske kinetične energije
Formula rotacijske kinetične energije ima veliko aplikacij. Uporablja se lahko za izračun preproste kinetične energije predenja, za izračun kinetične energije kotalni predmet (objekt, ki se premika tako v rotacijskem kot translacijskem gibanju) in rešiti za druge neznanke. Upoštevajte naslednje tri primere:
Primer 1:Zemlja se vrti okoli svoje osi približno vsakih 24 ur. Če predpostavimo, da ima enakomerno gostoto, kakšna je njegova kinetična energija vrtenja? (Polmer zemlje je 6,37 × 106 m, njegova masa pa je 5,97 × 1024 kg.)
Da bi našli vrtilno kinetično energijo, moramo najprej najti moment vztrajnosti. S približevanjem Zemlje kot trdne krogle dobimo:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5,97 \ times10 ^ {24} \ besedilo {kg}) (6,37 \ times10 ^ 6 \ besedilo {m}) ^ 2 = 9,69 \ krat10 ^ {37} \ besedilo {kgm} ^ 2
Kotna hitrost je 2π radianov / dan. Pretvorba tega v rad / s daje:
2 \ pi \ frac {\ text {radians}} {\ prekliči {\ text {dan}}} \ frac {1 \ prekliči {\ text {dan}}} {86400 \ text {sekunde}} = 7,27 \ times10 ^ {-5} \ text {rad / s}
Torej je rotacijska kinetična energija Zemlje:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9,69 \ times10 ^ {37} \ text {kgm} ^ 2) (7,27 \ times10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2,56 \ krat 10 ^ {29} \ text {J}
Zabavno dejstvo: to je več kot 10-krat več kot celotna energija, ki jo sonce odda v minuti!
2. primer:Enoten valj z maso 0,75 kg in polmerom 0,1 m se valja po tleh s konstantno hitrostjo 4 m / s. Kakšna je njegova kinetična energija?
Skupna kinetična energija je podana z:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
V tem primeru sem I = 1/2 mr2 je vztrajnostni trenutek trdnega valja inωje povezana z linearno hitrostjo preko ω = v / r.
Poenostavitev izraza za skupno kinetično energijo in priključitev vrednosti daje:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0,75 \ besedilo {kg}) (4 \ besedilo {m / s}) = 2,25 \ besedilo {J}
Upoštevajte, da nam ni bil potreben niti polmer! Ukinil se je zaradi neposredne povezave med hitrostjo vrtenja in linearno hitrostjo.
3. primer:Študent na kolesu pristane po hribu od počitka. Če je navpična višina hriba 30 m, kako hitro gre študent na dno hriba? Predpostavimo, da kolo tehta 8 kg, voznik tehta 50 kg, vsako kolo tehta 2,2 kg (vključeno v težo kolesa) in vsako kolo ima premer 0,7 m. Kolesa približamo kot obroče in domnevamo, da je trenje zanemarljivo.
Tu lahko uporabimo mehansko varčevanje z energijo za iskanje končne hitrosti. Potencialna energija na vrhu hriba se na dnu spremeni v kinetično energijo. Ta kinetična energija je vsota translacijske kinetične energije celotnega sistema oseba + kolo in rotacijskih kinetičnih energij pnevmatik.
Skupna energija sistema:
E_ {tot} = PE_ {zgoraj} = mgh = (50 \ besedilo {kg} + 8 \ besedilo {kg}) (9,8 \ besedilo {m / s} ^ 2) (30 \ besedilo {m}) = 17.052 \ besedilo {J}
Formula za skupno energijo v smislu kinetičnih energij na dnu hriba je:
E_ {tot} = KE_ {spodaj} = \ frac {1} {2} I_ {gume} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ krat m_ {pnevmatika} \ krat r_ {pnevmatika} ^ 2) (v / r_ {pnevmatika}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {pnevmatika} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {pnevmatika} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
Reševanje zavdaje:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {pnevmatika} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
Končno, s priklopom številk dobimo odgovor:
v = \ sqrt {\ frac {17,052 \ text {J}} {2,2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23,4 \ text {m / s}