Reševanje skrivnosti elektromagnetizma je bilo doslej eden največjih dosežkov fizike, pridobljene lekcije pa so v celoti vključene v Maxwellove enačbe.
James Clerk Maxwell je poimenoval te štiri elegantne enačbe, vendar so vrhunec desetletij dela mnogih fizikov, vključno z Michaelom Faradayem, Andre-Marie Ampere in Carlom Friedrichom Gaussom - ki imenujejo tri od štirih enačb - in mnogi drugi. Medtem ko je Maxwell sam eni od štirih enačb dodal le izraz, je imel predvidevanje in razumevanje zbrati najboljše delo, ki je bilo opravljeno na temo, in jih predstaviti na način, ki ga še vedno uporablja fiziki danes.
Mnogo, mnogo let so fiziki verjeli, da sta elektrika in magnetizem ločeni sili in ločeni pojavi. Toda z eksperimentalnim delom ljudi, kot je Faraday, je postajalo vse bolj jasno, da sta dejansko dve plati enak pojav, Maxwellove enačbe pa predstavljajo to enotno sliko, ki velja še danes tako kot v 19. stoletju stoletja. Če boste študirali fiziko na višjih stopnjah, morate nujno poznati Maxwellove enačbe in kako jih uporabljati.
Maxwellove enačbe
Maxwellove enačbe so naslednje, tako v diferencialni obliki kot v integralni obliki. (Upoštevajte, da čeprav je tu koristno poznavanje diferencialnih enačb, je konceptualno razumevanje možno tudi brez njega.)
Gaussov zakon o električni energiji
Diferencialna oblika:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
Celovita oblika:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Brez monopolnega zakona / Gaussov zakon za magnetizem
Diferencialna oblika:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
Celovita oblika:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
Faradayev zakon indukcije
Diferencialna oblika:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
Celovita oblika:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
Ampere-Maxwellov zakon / Amperov zakon
Diferencialna oblika:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
Celovita oblika:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Simboli, uporabljeni v Maxwellovih enačbah
Maxwellove enačbe uporabljajo precej velik izbor simbolov in pomembno je, da razumete, kaj to pomeni, če se jih boste naučili uporabljati. Tukaj je torej zmanjšanje pomena uporabljenih simbolov:
B= magnetno polje
E= električno polje
ρ= gostota električnega naboja
ε0= propustnost prostega prostora = 8.854 × 10-12 m-3 kg-1 s4 A2
q= skupni električni naboj (neto vsota pozitivnih in negativnih nabojev)
𝜙B = magnetni tok
J= trenutna gostota
jaz= električni tok
c= svetlobna hitrost = 2,998 × 108 gospa
μ0 = prepustnost prostega prostora = 4π × 10−7 N / A2
Poleg tega je pomembno vedeti, da je operator del operator, pika med dvema količinama (X ∙ Y.) prikazuje skalarni zmnožek, krepko množenje med dvema količinama je vektorski zmnožek (X × Y.), da se del operator s piko imenuje "divergenca" (npr. ∇ ∙ X= divergencaX= divX) in del operator s skalarnim zmnožkom imenujemo curl (npr. ∇× Y.= zvitekY.= curlY.). Končno,Av dApomeni površino zaprte površine, za katero računate (včasih zapisano kot dS), insv dsje zelo majhen del meje odprte površine, za katero računate (čeprav je to včasih dl, ki se nanaša na neskončno majhno komponento črte).
Izpeljava enačb
Prva enačba Maxwellovih enačb je Gaussov zakon in navaja, da je neto električni tok skozi a zaprta površina je enaka celotnemu naboju, vsebovanem v obliki, deljenem s propustnostjo vesolje. Ta zakon lahko izpeljemo iz Coulombovega zakona, potem ko naredimo pomemben korak pri izražanju Coulombovega zakona v smislu električnega polja in učinka, ki bi ga imel na preskusni naboj.
Druga Maxwellova enačba je v bistvu enakovredna izjavi, da "magnetnih monopolov ni." Navaja da bo neto magnetni tok skozi zaprto površino vedno 0, ker so magnetna polja vedno rezultat a dipol. Zakon lahko izpeljemo iz zakona Biot-Savart, ki opisuje magnetno polje, ki ga ustvarja trenutni element.
Tretja enačba - Faradayev zakon indukcije - opisuje, kako spreminjajoče se magnetno polje proizvaja napetost v zanki žice ali vodnika. Prvotno je bil izpeljan iz eksperimenta. Glede na rezultat, da spreminjajoči se magnetni tok inducira elektromotorno silo (EMR ali napetost) in s tem električni tok v zanke in dejstvo, da je EMP definiran kot linijski integral električnega polja okoli vezja, je zakon enostavno postaviti skupaj.
Četrta in zadnja enačba, Amperov zakon (ali zakon Ampere-Maxwell, ki mu pripisuje zasluge za njegovo prispevek) opisuje, kako magnetno polje ustvarja gibljiv naboj ali spreminjajoče se električno polje. Zakon je rezultat eksperimenta (in tako - tako kot vse Maxwellove enačbe - v resnici ni bil "izpeljan" v tradicionalnem smislu), ampak z uporaboStokesov izrekje pomemben korak pri doseganju osnovnega rezultata v današnji obliki.
Primeri Maxwellovih enačb: Gaussov zakon
Če sem odkrita, še posebej, če niste ravno navdušeni nad vektorskim računom, so Maxwellove enačbe videti precej zastrašujoče, kljub temu, da so razmeroma kompaktne. Najboljši način, da jih resnično razumete, je, da si ogledate nekaj primerov njihove uporabe v praksi, Gaussov zakon pa je najboljše mesto za začetek. Gaussov zakon je v bistvu bolj temeljna enačba, ki opravlja nalogo Coulombovega zakona, in to tudi je iz njega je enostavno izpeljati Coulombov zakon z upoštevanjem električnega polja, ki ga proizvaja točka napolniti.
Klicanje stroškovq, ključna točka za uporabo Gaussovega zakona je izbira prave "površine" za preučevanje električnega toka. V tem primeru dobro deluje krogla s površinoA = 4πr2, ker lahko kroglo centrirate na točkovni naboj. To je velika korist za reševanje tovrstnih problemov, ker vam potem ni treba integrirati različnega polja po površini; polje bo simetrično okoli točkovnega naboja in bo tako konstantno po površini krogle. Torej integralna oblika:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Lahko se izrazi kot:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
Upoštevajte, daEkajti električno polje je bilo nadomeščeno s preprosto velikostjo, ker se bo polje iz točkovnega naboja preprosto razširilo v vseh smereh od vira. Zdaj, ko delimo s površino krogle, dobimo:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
Ker je sila povezana z električnim poljem zE = F/q, kjeqje testna polnitev,F = qE, in tako:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
Kjer so bili dodani naročniki za razlikovanje med obema dajatvama. To je Coulombov zakon, naveden v standardni obliki, kar se je pokazalo kot preprosta posledica Gaussovega zakona.
Primeri Maxwellovih enačb: Faradayev zakon
Faradayev zakon vam omogoča izračun elektromotorne sile v zanki žice, ki je posledica spreminjanja magnetnega polja. Preprost primer je zanka iz žice s polmeromr= 20 cm, v magnetnem polju, ki se poveča odBjaz = 1 T doBf = 10 T v prostoru ∆t= 5 s - kolikšen je inducirani EMR v tem primeru? Celotna oblika zakona vključuje tok:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
ki je opredeljeno kot:
ϕ = BA \ cos (θ)
Ključni del problema tukaj je iskanje hitrosti spremembe pretoka, a ker je težava dokaj enostavna, lahko delni odvod zamenjate s preprosto "spremembo" vsake količine. In integral v resnici pomeni le elektromotorno silo, zato lahko Faradayev zakon indukcije prepišete kot:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
Če predpostavimo, da ima zanka žice normalno poravnano z magnetnim poljem,θ= 0 ° in tako cos (θ) = 1. Tako ostane:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}
Nato je težavo mogoče rešiti z iskanjem razlike med začetnim in končnim magnetnim poljem in površino zanke, kot sledi:
\ start {poravnano \ \ besedilo {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0,2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0,23 \ text {V } \ end {poravnano}
To je le majhna napetost, vendar se Faradayev zakon uporablja na enak način, ne glede na to.
Primeri Maxwellovih enačb: Ampere-Maxwellov zakon
Ampere-Maxwellov zakon je zadnja enačba Maxwellovih enačb, ki jo boste morali redno uporabljati. Enačba se vrne k Amperejevemu zakonu, če se ne spreminja električnega polja, zato je to najlažji primer za razmislek. Uporabite ga lahko za izpeljavo enačbe za magnetno polje, ki je posledica ravne žice, ki nosi tokjaz, in ta osnovni primer zadostuje za prikaz uporabe enačbe. Celotni zakon je:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Toda brez spreminjanja električnega polja se zmanjša na:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
Tako kot pri Gaussovem zakonu tudi če za površino izberete krog, osredotočen na zanko žice, tudi intuicija kaže, da nastalo magnetno polje bo simetrična in tako lahko integral zamenjate s preprostim zmnožkom obsega zanke in jakosti magnetnega polja, odhod:
B × 2πr = μ_0 I
Delitev skozi z 2πrdaje:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
Kar je sprejemljiv izraz za magnetno polje na daljavorki je posledica ravne žice, ki nosi tok.
Elektromagnetni valovi
Ko je Maxwell sestavil svoj niz enačb, je začel iskati rešitve zanje, da bi razložil različne pojave v resničnem svetu in vpogled v svetlobo je eden najpomembnejših rezultatov pridobljeno.
Ker spreminjajoče se električno polje ustvarja magnetno polje (po Amperejevem zakonu) in spreminjajoče se magnetno polje generira električno polje (po Faradayevem zakonu), Maxwell ugotovil, da je lahko samorazmnoževalni elektromagnetni val mogoče. S svojimi enačbami je našel valovno enačbo, ki bi opisala tak val, in ugotovil, da bo potoval s svetlobno hitrostjo. To je bil nekakšen trenutek "eureke"; spoznal je, da je svetloba oblika elektromagnetnega sevanja, ki deluje tako kot polje, ki si ga je zamislil!
Elektromagnetni val je sestavljen iz valov električnega polja in valov magnetnega polja, ki nihata naprej in nazaj, poravnanih pravokotno drug proti drugemu. Nihanje električnega dela vala ustvarja magnetno polje, nihanje tega dela pa spet ustvarja električno polje, med potovanjem skozi vesolje.
Kot vsak drug val ima tudi elektromagnetno valovanje frekvenco in valovno dolžino in je njihov zmnožek vedno enakc, hitrost svetlobe. Elektromagnetni valovi so povsod okoli nas, poleg vidne svetlobe pa tudi druge valovne dolžine običajno imenujemo radijski valovi, mikrovalovi, infrardeči, ultravijolični, rentgenski in gama žarki. Vse te oblike elektromagnetnega sevanja imajo enako osnovno obliko, kot jo pojasnjujejo Maxwellove enačbe, vendar se njihove energije spreminjajo s frekvenco (tj. Višja frekvenca pomeni večjo energijo).
Torej je za fizika Maxwell rekel: "Naj bo svetloba!"