Krogi so povsod v resničnem svetu, zato so njihovi polmeri, premeri in obseg pomembni v resničnih aplikacijah. Obstajajo pa tudi drugi deli krogov - na primer sektorji in koti -, ki so pomembni tudi v vsakodnevnih aplikacijah. Primeri vključujejo velikosti sektorjev krožne hrane, kot so torte in pite, kot, ki ga prevozi kolo Ferris, velikost pnevmatike do določenega vozila in še posebej velikost obroča za vklop oz poroka. Iz teh in več razlogov ima geometrija tudi enačbe in izračune problemov, ki obravnavajo osrednje kote, loke in sektorje kroga.
Kaj je osrednji kot?
Osrednji kot je opredeljen kot kota, ki ga ustvarjata dva žarka ali polmera, ki sevata iz središča kroga, pri čemer je središče kroga oglišče osrednjega kota. Osrednji koti so še posebej pomembni pri enakomernem razdeljevanju pice ali katere koli druge krožne hrane med določenim številom ljudi. Recimo, da je pet ljudi na večerji, kjer si delita veliko pico in veliko torto. Kakšen je kot, na katerega je treba razdeliti pico in torto, da zagotovimo enako rezino za vse? Ker je v krogu 360 stopinj, izračun postane 360 stopinj, deljeno s 5, da dosežemo 72 stopinj, tako da bo imela vsaka rezina, bodisi pice ali torte, osrednji kot ali theta (θ), ki meri 72 stopinj.
Določitev osrednjega kota iz dolžine loka
Lok kroga se nanaša na "del" obsega kroga. Dolžina loka je torej dolžina tega "dela". Če si predstavljate rezino pice, je lahko področje sektorja vizualiziran kot celotna rezina pice, vendar je dolžina loka dolžina zunanjega roba skorje za to posebno rezino. Iz dolžine loka lahko izračunamo osrednji kot. Dejansko ena formula, ki lahko pomaga pri določanju osrednjega kota, navaja, da so dolžine loka enake polmeru, pomnoženemu s centralnim kotom, ali
s = r × θ
pri čemer je treba kot, theta, izmeriti v radianih. Da bi rešili osrednji kot, theta, je treba dolžino loka ločiti le s polmerom, oz
\ frac {s} {r} = θ
Za ponazoritev, če je dolžina loka 5,9 in polmer 3,5329, potem osrednji kot postane 1,67 radiana. Drug primer je, če je dolžina loka 2 in polmer 2, osrednji kot postane 1 radian. Če želite pretvoriti radiane v stopinje, ne pozabite, da je 1 radian enak 180 stopinjam, deljenim z π, ali 57,2958 stopinj. Če pa enačba zahteva pretvorbo stopinj nazaj v radiane, najprej pomnožite z π in nato delite z 180 stopinjami.
Določitev osrednjega kota s področja sektorja
Druga uporabna formula za določitev osrednjega kota je področje sektorja, ki ga lahko spet vizualiziramo kot rezino pice. To posebno formulo je mogoče videti na dva načina. Prva ima osrednji kot, izmerjen v stopinjah, tako da je področje sektorja enako π-kratno polmer na kvadrat in nato pomnoženo s količino osrednjega kota v stopinjah, deljeno s 360 stopinj. Z drugimi besedami:
πr ^ 2 × \ frac {\ text {osrednji kot v stopinjah}} {360 \ text {stopinje}} = \ text {področje sektorja}
Če osrednji kot merimo v radianih, namesto tega formula postane:
\ text {področje sektorja} = r ^ 2 × \ frac {\ text {osrednji kot v radianih}} {2}
Preurejanje formul bo pomagalo rešiti vrednost osrednjega kota ali theta. Razmislite o območju sektorja 52,3 kvadratnih centimetrov s polmerom 10 centimetrov. Kakšen bi bil njegov osrednji kot v stopinjah? Izračuni bi se začeli s površino sektorja 52,3 kvadratnih centimetrov, ki je enaka:
\ frac {θ} {360 \ text {stopinje}} × πr ^ 2
Ker je polmer (r) je enako 10, lahko celotno enačbo zapišemo kot:
\ frac {52,3} {100π} × 360
tako da lahko theta zapišemo kot:
\ frac {52,3} {314} × 360
Tako končni odgovor postane osrednji kot 60 stopinj.