Ko začnete delati trigonometrijo in računanje, lahko naletite na izraze, kot je greh (2θ), kjer morate najti vrednostθ. Igranje poskusov in napak z grafikoni ali kalkulatorjem, da bi našli odgovor, bi segalo od dolgotrajne nočne more do popolnoma nemogoče. Na srečo so tu v pomoč identitete z dvojnim kotom. To so posebni primeri tega, kar je znano kot sestavljena formula, ki lomi funkcije obrazcev (A + B) ali (A – B) navzdol v funkcije justAinB.
Dvokotne identitete za sinus
Obstajajo tri identitete z dvojnim kotom, po ena za sinusno, kosinusno in tangentno funkcijo. Sinusno in kosinusno identiteto pa lahko zapišemo na več načinov. Tu sta dva načina zapisovanja identitete z dvojnim kotom za sinusno funkcijo:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Dvokotne identitete za kosinus
Obstaja še več načinov pisanja identitete z dvojnim kotom za kosinus:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1 - 2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Dvokotna identiteta za tangento
Na srečo obstaja samo en način zapisovanja identitete dvojnega kota za funkcijo tangente:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Uporaba dvojnih identitet
Predstavljajte si, da se soočate s pravokotnim trikotnikom, pri katerem poznate dolžino njegovih stranic, ne pa tudi mere njegovih kotov. Prosili so vas za iskanjeθ, kjeθje eden od kotov trikotnika. Če hipotenuza trikotnika meri 10 enot, stran, ki meji na vaš kot, meri 6 enot in stran nasproti kota meri 8 enot, ni pomembno, da ne poznate mereθ; za iskanje odgovora lahko uporabite svoje znanje o sinusu in kosinusu ter eno od formul z dvojnim kotom.
Ko izberete kot, lahko sinus določite kot razmerje nasprotne strani nad hipotenuzo, kosinus pa kot razmerje sosednje strani nad hipotenuzo. Torej, v pravkar navedenem primeru imate:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Ta dva izraza najdete, ker sta najpomembnejša gradnika formul z dvojnim kotom.
Ker je na voljo toliko formul z dvojnim kotom, lahko izberete tisto, ki je lažje izračunana in bo vrnila vrsto informacij, ki jih potrebujete. V tem primeru zato, ker poznate grehθin cosθže zdaj je jasno, da je najprimernejši izraz:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Vrednosti sinθ in cosθ že poznate, zato ju nadomestite v enačbo:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
Ko poenostavite, boste imeli:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
Večina trigonometričnih grafikonov je podanih v decimalnih številkah, zato v nadaljevanju deljenje, predstavljeno z ulomkom, pretvorite v decimalno obliko. Zdaj imate:
\ sin (2θ) = 0,96
Na koncu poiščite inverzni sinus ali arksinus 0,96, ki je zapisan kot greh −1(0.96). Z drugimi besedami, uporabite svoj kalkulator ali grafikon, da približate kot, ki ima sinus 0,96. Izkazalo se je, da je to skoraj popolnoma enako 73,7 stopinje. Torej 2θ= 73,7 stopinje.
Vsako stran enačbe razdelite na 2. To vam omogoča:
θ = 36,85 \ besedilo {stopinj}