Predstavljajte si, da imate top s ciljem, da bi razbili stene sovražnega gradu, da bo vaša vojska lahko vdrla in zahtevala zmago. Če veste, kako hitro krogla potuje, ko zapusti top, in veste, kako daleč so stene, pod kakšnim kotom izstrelitve morate streljati iz topa, da boste uspešno zadeli stene?
To je primer problema gibanja izstrelka in to in številne podobne probleme lahko rešite z enačbami konstantnega pospeševanja kinematike in nekatere osnovne algebre.
Gibanje izstrelkatako fiziki opisujejo dvodimenzionalno gibanje, pri katerem je edini pospešek, ki ga zadevni predmet doživlja, stalen pospešek navzdol zaradi gravitacije.
Na površini Zemlje nenehni pospešekaje enakog= 9,8 m / s2, in predmet, ki se premika izstrelek, je vprosti pads tem kot edinim virom pospeševanja. V večini primerov bo zavzel pot parabole, zato bo gib imel tako vodoravno kot navpično komponento. Čeprav bi imel v resničnem življenju (omejen) učinek, na srečo večina problemov gibanja izstrelkov iz fizike v gimnaziji ne upošteva učinka zračnega upora.
Težave z gibanjem projektila lahko rešite z uporabo vrednostigin nekatere druge osnovne informacije o trenutni situaciji, na primer začetna hitrost izstrelka in smer, v katero potuje. Učenje reševanja teh problemov je bistvenega pomena za opravljanje večine uvodnih ur fizike in vam predstavi najpomembnejše koncepte in tehnike, ki jih boste potrebovali tudi na poznejših tečajih.
Enačbe gibanja izstrelkov
Enačbe za gibanje izstrelka so enačbe konstantnega pospeška iz kinematike, ker je pospešek gravitacije edini vir pospeška, ki ga morate upoštevati. Štiri glavne enačbe, ki jih boste potrebovali za rešitev problema gibanja projektila, so:
v = v_0 + pri \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} pri ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2as
Tukaj,vpomeni hitrost,v0 je začetna hitrost,aje pospešek (kar je enako pospešku navzdol zagpri vseh težavah z gibanjem projektila),sje premik (iz začetnega položaja) in kot vedno imate čas,t.
Te enačbe so tehnično samo za eno dimenzijo in bi jih v resnici lahko predstavljale vektorske količine (vključno s hitrostjov, začetna hitrostv0 in tako naprej), v praksi pa lahko te različice uporabite samo ločeno, enkrat vx-smer in enkrat vy-smer (in če ste kdaj imeli tridimenzionalni problem, vz-smer tudi).
Pomembno je vedeti, da so touporablja se le za nenehno pospeševanje, zaradi česar so kot nalašč za opis situacij, ko je vpliv gravitacije edini pospeševanje, vendar neprimerno za številne situacije v resničnem svetu, kjer bi morale biti dodatne sile upoštevati.
Za osnovne situacije je to vse, kar boste potrebovali za opis gibanja predmeta, po potrebi pa lahko vključite tudi druge dejavniki, kot je višina, s katere je bil izstreljeni izstrelek, ali jih celo rešite za najvišjo točko izstrelka na svoji pot.
Reševanje težav z gibanjem izstrelkov
Zdaj, ko ste videli štiri različice formule gibanja izstrelka, ki jih boste morali uporabiti pri reševanju problemov lahko začnete razmišljati o strategiji, ki jo uporabljate za reševanje gibanja izstrelka problem.
Osnovni pristop je razdelitev problema na dva dela: enega za vodoravno gibanje in drugega za navpično gibanje. To se tehnično imenuje vodoravna in navpična komponenta, vsaka pa ima ustrezen nabor količine, kot so vodoravna hitrost, navpična hitrost, vodoravni premik, navpični premik in tako naprej.
S tem pristopom lahko uporabite enačbe kinematike, pri čemer upoštevate ta častje enaka za vodoravne in navpične komponente, vendar bodo stvari, kot je začetna hitrost, imele različne komponente za začetno vertikalno hitrost in začetno vodoravno hitrost.
Ključno je razumeti, da je za dvodimenzionalno gibanjekajkot gibanja je mogoče razčleniti na vodoravno in navpično komponento, vendar kdaj če to storite, bo ena horizontalna različica obravnavane enačbe in ena vertikalna različico.
Zanemarjanje učinkov zračnega upora močno poenostavi težave s premikanjem izstrelka, ker jih vodoravna smer nikoli nima pospešek pri problemu gibanja izstrelka (prosti padec), saj vpliv gravitacije deluje le navpično (tj. proti površini Zemlja).
To pomeni, da je komponenta vodoravne hitrosti le konstantna hitrost, gibanje pa se ustavi šele, ko gravitacija spusti izstrelek na nivo tal. S tem lahko določimo čas leta, ker je v celoti odvisen ody-smerno gibanje in ga je mogoče v celoti izdelati na podlagi navpičnega premika (tj. časatko je navpični premik nič, pove čas leta).
Trigonometrija pri problemih gibanja izstrelkov
Če vam zadevni problem daje kot izstrelitve in začetno hitrost, boste morali uporabiti trigonometrijo za iskanje vodoravne in navpične komponente hitrosti. Ko to storite, lahko z dejanskimi rešitvami uporabite metode, opisane v prejšnjem razdelku.
V bistvu ustvarite pravokotni trikotnik s hipotenuzo, nagnjeno pod kotom izstrelitve (θ) in velikost hitrosti kot dolžina, nato pa je sosednja stran vodoravna komponenta hitrosti, nasprotna stran pa navpična hitrost.
Narišite pravokotni trikotnik po navodilih in videli boste, da najdete vodoravne in navpične komponente s pomočjo trigonometričnih identitet:
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {sosednje}} {\ text {hipotenuza}}
\ text {sin} \; θ = \ frac {\ text {nasproti}} {\ text {hipotenuza}}
Torej jih je mogoče preurediti (in z nasprotno =vy in sosednji =vx, tj. navpična komponenta hitrosti oziroma vodoravna komponenta hitrosti oziroma hipotenuza =v0, začetna hitrost), da dobimo:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
To je vsa trigonometrija, ki jo boste morali storiti za reševanje težav z gibanjem izstrelkov: priklopite kot izstrelitve v enačbo, z uporabo sinusne in kosinusne funkcije na vašem kalkulatorju in pomnožitvijo rezultata z začetno hitrostjo izstrelek.
Če gremo skozi primer tega, z začetno hitrostjo 20 m / s in kotom zagona 60 stopinj, so komponente:
\ začetek {poravnano} v_x & = 20 \; \ besedilo {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ besedilo {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ besedilo {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17,32 \; \ besedilo {m / s} \ konec {poravnano}
Primer težave s premikanjem izstrelka: eksplozivni ognjemet
Predstavljajte si, da ima ognjemet varovalko, zasnovano tako, da eksplodira na najvišji točki svoje poti, in se začne z začetno hitrostjo 60 m / s pod kotom 70 stopinj proti vodoravni.
Kako bi izračunali kakšno višinoheksplodira ob? In kakšen bi bil čas od izstrelka, ko eksplodira?
To je ena izmed številnih težav, ki vključujejo največjo višino izstrelka, trik za njihovo reševanje pa je, da pri največji višiniy-komponenta hitrosti je za trenutek 0 m / s. S priklopom te vrednosti zavy in z izbiro najprimernejše kinematične enačbe se lahko tega in vseh podobnih problemov enostavno lotite.
Najprej, ko pogledamo kinematične enačbe, ta preskoči (z dodanimi indeksi, ki kažejo, da delamo v navpični smeri):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Ta enačba je idealna, ker pospešek že poznate (ay = -g), začetno hitrost in kot izstrelitve (tako da lahko določite navpično komponentovy0). Ker iščemo vrednostsy (tj. višinah) kdajvy = 0, lahko končno komponento vertikalne hitrosti nadomestimo z ničlo in jo ponovno uredimosy:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Ker je smiselno poklicati smer navzgory, in od pospeška zaradi gravitacijegje usmerjena navzdol (tj. v -ysmer), se lahko spremenimoay za -g. Končno, klicsy višinah, lahko zapišemo:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Edina stvar, ki jo morate rešiti za rešitev problema, je navpična komponenta začetne hitrosti, kar lahko storite s trigonometričnim pristopom iz prejšnjega oddelka. Torej z informacijami iz vprašanja (60 m / s in 70 stopinj do vodoravnega izstrelka) to daje:
\ začetek {poravnano} v_ {0y} & = 60 \; \ besedilo {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56,38 \; \ besedilo {m / s} \ konec {poravnano}
Zdaj lahko rešite za največjo višino:
\ začetek {poravnano} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56,38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9,8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162,19 \ text {m} \ end {poravnano}
Tako bo ognjemet eksplodiral približno na 162 metrih od tal.
Nadaljevanje primera: čas leta in prevožena razdalja
Po rešitvi osnov problema gibanja izstrelka, ki temelji zgolj na navpičnem gibanju, je preostanek problema mogoče enostavno rešiti. Prvič, čas od zagona, ko eksplodira varovalka, lahko najdemo z uporabo ene od drugih enačb konstantnega pospeška. Če pogledamo možnosti, naslednji izraz:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
ima čast, kar želite vedeti; premik, ki ga poznate za največjo točko leta; začetna navpična hitrost; in hitrost v času največje višine (za katero vemo, da je nič). Na podlagi tega lahko enačbo preuredimo tako, da dobimo izraz za čas leta:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Torej vstavljanje vrednosti in reševanje zatdaje:
\ začetek {poravnano} t & = \ frac {2 × 162,19 \; \ besedilo {m}} {56,38 \; \ besedilo {m / s}} \\ & = 5,75 \; \ besedilo {s} \ konec {poravnano}
Tako bo ognjemet eksplodiral 5,75 sekunde po izstrelitvi.
Na koncu lahko enostavno določite prevoženo vodoravno razdaljo na podlagi prve enačbe, ki (v vodoravni smeri) navaja:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Vendar pa ugotavlja, da pospeševanje vx-smer, to je preprosto:
v_x = v_ {0x}
To pomeni, da je hitrost vxsmer je enaka skozi pot ognjemeta. Glede na tov = d/t, kjedje prevožena razdalja, to je lahko videtid = vt, in v tem primeru (ssx = d):
s_x = v_ {0x} t
Torej lahko zamenjatev0x s trigonometričnim izrazom iz prejšnjega vnesite vrednosti in rešite:
\ začetek {poravnano} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ besedilo {m / s} × \ cos (70) × 5,75 \; \ besedilo {s} \\ & = 118 \; \ besedilo {m} \ konec {poravnano}
Torej bo pred eksplozijo prepotoval približno 118 m.
Dodatni problem gibanja izstrelka: ognjemet Dud
Za dodatno težavo si predstavljajte ognjemet iz prejšnjega primera (začetna hitrost 60 m / s pri 70 stopinjah do vodoravne) na vrhuncu parabole ni eksplodiral in je pristal na tleh neeksplodirano. Ali lahko v tem primeru izračunate skupni čas leta? Kako daleč od izstrelišča v vodoravni smeri bo pristalo, ali z drugimi besedami, kaj jeobsegizstrelka?
Ta problem deluje v bistvu na enak način, kjer sta navpični komponenti hitrosti in premika glavne stvari, ki jih morate upoštevati, da določite čas leta, in od tega lahko določite obseg. Namesto da bi podrobno obdelali rešitev, lahko to rešite sami na podlagi prejšnjega primera.
Obstajajo formule za doseg izstrelka, ki jih lahko poiščete ali izpeljete iz enačb konstantnega pospeška, vendar to ni resnično potrebno, ker že poznate največjo višino izstrelka, od tega trenutka pa je ravno pod prostim padom gravitacija.
To pomeni, da lahko določite čas, ko bo ognjemet padel nazaj na tla, in ga nato dodate času leta do največje višine, da določite skupni čas leta. Od takrat naprej je enak postopek uporabe konstantne hitrosti v vodoravni smeri skupaj s časom leta za določanje dosega.
Pokažite, da je čas leta 11,5 sekunde in doseg 236 m, pri čemer upoštevajte, da boste morali izračunamo navpično komponento hitrosti na točki, ko kot vmesnik zadene tla korak.